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第七章 实数的完备性习题1 关于实数集完备性的基本定理1 证数集有且只有两个聚点和.2 证明:任何有限数集都没有聚点.3 设是一个严格开区间套,满足 ,且.证明:存在唯一的一点,使得4 试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.5 设.问:(1)能否覆盖?(2)能否从中选出有限个开区间覆盖?6 证明:闭区间的全体聚点的集合是本身.7 设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.8 试用有限覆盖定理证明聚点定理.9 试用聚点定理证明柯西收敛准则.2 闭区间上连续函数性质的证明1 设为上连续的周期函数.证明:为上有最大值与最小值.2 设为有限区间.证明:若在上一致连续,则在上有界.举例说明此结论当为无限区间时不一定成立.3 证明:在上一致连续.4 试用有限覆盖定理证明根的存在定理.5 证明:在上的连续函数为一致连续的冲要条件是都存在.3 上极限和下极限1 求以下数列的上、下极限:(1); (2);(3); (4);(5); (6).2 设为有界数列,证明:(1);(2)(3)设,则 ;(4)若,则.3 证明:若为递增数列,则.4 证明:若且,则数列收敛.5 证明定理7.86 证明定理7.9总练习题1 证明:为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.2 设在内连续,且.证明:在内有最大值或最小值.3 设在上连续,又,使得.证明:存在,使得.4 设和都在区间上一致连续.(1)若为有限区间,证明:在上一致连续;(2)若为无限区间,举例说明在上不一定一致连续.5设定义在上.证明:若对内任一收敛数列,极限都存在,则在上一致连续.6函数在上连续,且有斜渐近线,即有数,使得证明:在上一致连续.习题答案1 关于实数集完备性的基本定理5(1)能;(2)(i)不能,(ii)能.3 上极限和下极限1(1)2,0;(2),;(3);(4)2,-2;(5);(6)1,1.典型习题解答1(1 第7题)设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.证明:设为递增数列,设为的聚点.下证1)是的上界.若不然,使,取,由的递增性,内只含有中的有限项.这与是的聚点矛盾.从而是的上界.2),取,则,使得.所以.由确界的唯一性,聚点是唯一的.2(1 第8题)试用有限覆盖定理证明聚点定理.证明:设是实轴上的一个有界无限点集,则,使得.假设中的任意点都不是的聚点,则,使得中只有中的有限多个点.令,它是闭区间的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在的一个有限开覆盖,从而覆盖.所以是有限集,矛盾.3(2 第4题)试用有限覆盖定理证明根的存在定理.证明:假设,有.由连续函数的保号性,存在使得在上同号.记,显然它覆盖,从而存在的有限子覆盖:.因为在上同号,且又覆盖,故在上同号.但,矛盾.4.(2 第5题)证明:在上的连续函数为一致连续的冲要条件是都存在.证明:(必要性)设在上一致连续,则只要,就有 (1)取,则,有(1)式成立.由柯西准则,存在.同理也存在.(充分性)令,则在上连续.从而在上一致连续,所以在上一致连续.5(总练习题 第5题)设定义在上.证明:若对内任一收敛数列,极限都存在,则在上一致连续.证明:假设在上不一致连续,则,对,总存在,尽管,但有.令,与它相应的两点记为,尽管,但有 (1)当取遍所有正整数时,得数列,由致密性定理,存在的收敛子列,设.又即由(1)式有,令,得这与相矛盾.所以在上一致连续.6(总练习题 第6题)函数在上连续,且有斜渐近线,即有数,使得证明:在上一致连续.证明:令,则在上连续.又因为,所以在上一致连续.又在上一致连续,因此在上一致连续.5
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