1.2 标架与坐标,称为向量 在基 下的坐标或分量.,1. 标架，向量的坐标,空间中任意三个有序的不共面向量 , 称为空间中的一组基.,任意空间向量 可以用 线性表示，,记作：,空间中取定一个标架后，空间中全体向量与全体 有序三实数组（x, y, z）的集合之间建立了一一对应关系。,面,面,面,仿射标架 中,有三个坐标轴，三个坐标平面，八个卦限.,将右手四指(大拇指除外)从 x 轴方向弯向 y 轴方向 ，如果拇指所指的方向与z 轴方向在xoy平面同侧，则称此坐标系为右手系;,否则为左手系.,定义1.2.2 如果 都是单位向量，并且两两垂直，则 称为笛卡儿直角标架或笛卡儿直角坐标系，简称为直角标架与直角坐标系.,证明： (1),.用向量的分量进行向量的线性运算.,2. 用坐标作向量的运算,用同样的方法可证(2)与(3).,所以 的坐标是,用向量形式证明,仿射坐标系,命题1.2.2 设向量 的起点 与终点 的坐标分别为 ,则,. 用向量的起点和终点的坐标表示向量的分量.,证明：,有向线段的坐标：(终点坐标)(起点坐标),小结：,证明: 据定理1.1.3，向量 共线的充要条件是其中一个向量可用另一个向量来线性表示，不妨设 ，,于是,由此得到 ，,所以命题得证.,约定：当分母为零时，分子亦为零.,命题1.2.3 在仿射坐标系 中, 两个非零向量 共线的充要条件是对应分量成比例,. 两向量共线、三向量共面的条件.,推论1.2.1,证明：,证明:,三个向量 共面的充要条件是,由此可得到,这是关于 的齐次线性方程组.该方程组有非零解 的充要条件是系数行列式等于0，即得证.,推论1.2.2,证明：,行列式的加边法和 拉普拉斯展开式,. 线段的定比分点坐标.,特别地，当=1时，,即坐标中点公式.,例1.2.1 已知三角形三顶点 , 求 的重心的坐标.,解 如图所示，设 的三条中线为 , 其中顶点 所对的对边上的中点为 ， 三条中线的公共点为 .,可得,因为 为 的中点，,所以,据定比分点公式，得G的坐标,所以 的重心为,