莆田第六中学2017届高三第二次模拟考试数学（理科）第卷（共60分） 2017-05-13一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合，则( )（A）（B）（C）（D）2.设命题，则为（ ）（ ）A.，B.，C.，D.，3.已知复数，若复数，则实数的值为（ ）A.B.6C. D. 4.已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为，则等于（ ）A.B.C.7D. 5.已知，则的值等于（ ）A.B.C.D.6.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A.B.C.D.7某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是( )（A）18（B）24（C）36（D）428设非负实数和满足，则的最大值为（ ）A.2B.C.6D.129.已知等比数列，且，则的值为（ ）A.2B.4C.8D.1610.若实数、，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.11.四面体中，则四面体外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为( )（A）（B）（C）（D）第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则算筹式 表示的数字为 14. 下面的程序框图中，若输入，则输出的结果为 15.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为 16.在中，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的最大值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 数列是公差为的等差数列，为其前n项和，成等比数列（）证明成等比数列；（）设，求的值。18随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图（）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率；（）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下： 报废年限车型 1年2年3年4年总计A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据：（参考公式：回归直线方程为，其中）19.如图，在梯形中，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段（含端点）上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.21已知函数，其中,e为自然对数的底数.（）函数的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说明理由；（）若函数在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.23.已知函数.（1）若，使得成立，求的范围；（2）求不等式的解集.莆田第六中学2017届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题BBCDB ADCDD CA二、填空题13.368 14.121 15. 16.2三、解答题17.解：（1）由题意有，即，解得，。3分又，5分即，又均不为零，所以成等比数列. 6分（2）,由（1）可知，所以，所以8分原式=10分。12分18. 解：（ 1）由折线图中所给的数据计算可得，1分。2分 5分6分月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为当时，故公司2017年4月份的市场占有率预计为23%7分（2）由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，8分每辆款车可产生的利润期望值为（元）9分由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，每辆款车可产生的利润期望值为：（元），11分，应该采购款单车12分19. 解：(I)在梯形中，又,，2分. 3分，4分 而， 5分 . 6分(II)由(I)可建立分别以直线，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，令(),则(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(，0，1)，7分=(-，1，0)，=(，-1，1)， 设为平面的一个法向量，由得取,则=(1,), 9分=(1,0,0)是平面的一个法向量, ,当时，有最小值，12分点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.20. 解：（I）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，圆2分由题意，得3分解得4分将代入，得曲线的方程为 5分（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设联立，可得 由求根公式得（*）6分以为直径的圆过坐标原点，即7分即化简可得，将（*）代入可得，即8分即，又9分将代入，可得10分 当且仅当，即时等号成立又由，11分（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得 同理求得 故综上，得 12分21.解：（1），1分假设函数的图象与轴相切于点，则有，即，.3分由可知，代入中可得4分，即，方程无解，故无论取何值，函数的图象都不与轴相切5分（2）记，由题知在上恒成立6分由，可得，的必要条件是，若，则，当时，故，7分下面证明：当时，不等式恒成立8分令，则记，则，当时，单调递增且； 当时，单调递减且，9分 存在唯一的使得，且当时，单调递减；当时，单调递增，10分，11分， 从而恒成立，故能取得的最大整数为112分22.解：（I）由，得 4分曲线的直角坐标方程为 5分（II）将直线的参数方程代入，得6分设两点对应的参数分别为，则，7分9分当时，的最小值为2. 10分23.解：（I）3分当时， 所以4分 5分（II）即由（I）可知，当时，的解集为空集；6分当时，的解集为； 8分当时，的解集为.9分综上，不等式的解集为.10分