1 集合的概念和表示方法 教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论它是近、现代数学的一个重要基础一方面，许多重要 的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在 集合理论的基础上另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应 用在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集 合） 、 点集 （直线、 圆） 等， 有了一定的感性认识 这节内容是初中有关内容的深化和延伸 首 先通过实例引出集合与集合元素的概念， 然后通过实例加深对集合与集合元素的理解， 最后 介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子本节的 重点是集合的基本概念与表示方法， 难点是运用集合的两种常用表示方法列举法与描 述法正确表示一些简单的集合 教学目标 1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法 2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质 3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言） ，培养学生的理解、化 归、表达和处理问题的能力 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念介绍集合的概 念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受在引出概念时，从实例 入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念集合的表示 方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握 教学设计 一、问题情境 1. 在初中，我们学过哪些集合？ 2. 在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出： 在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合” ， “负数的集合” ；在学习一元一次不等 式时，说它的所有解为不等式的解集 在初中几何里学习圆时， 说圆是到定点的距离等于定长的点的集合 几何图形都可以看成点 的集合 3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体” 、 “一类” 、 “一群” 、 “所有” 、 “整体” ， 4. 请写出“小于 10”的所有自然数 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这些可以构成一个集合 5. 什么是集合？ 二、建立模型 1. 集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集 （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素 （3）集合中的元素与集合的关系： a 是集合 A 中的元素，称 a 属于集合 A，记作 aA； a 不是集合 A 中的元素，称 a 不属于集合 A，记作 aA 例：设 B1，2，3 ，则 1B，4B 2. 集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合 的元素也就确定了如上例，给出集合 B，4 不是集合的元素是可以确定的 （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的 例：若集合 Aa，b ，则 a 与 b 是不同的两个元素 （3）无序性：集合中的元素无顺序 例：集合1，2与集合2，1表示同一集合 3. 常用的数集及其记法 全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集） ，记作 N 非负整数集内排除 0 的集合简称正整数集，记作 N*或 N+； 全体整数的集合简称整数集，记作 Z； 全体有理数的集合简称有理数集，记作 Q； 全体实数的集合简称实数集，记作 R 4. 集合的表示方法 问题 如何表示方程 x23x20 的所有解？ （1）列举法 列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法 例：x23x20 的解集可表示为1，2 （2）描述法 描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 例：x23x20 的解集可表示为xx23x20 不等式 x32 的解集可表示为xx32 Venn 图法 例：x23x20 的解集可以表示为（1，2） 5. 集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合例如，A1，2 （2）无限集：含有无限个元素的集合例如，N （3）空集：不含任何元素的集合，记作例如， xx210，xR 注：对于无限集，不宜采用列举法 三、解释应用 例题 1. 用适当的方法表示下列集合 （1）由 1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数 （2）平面内到一个定点 O 的距离等于定长 l（l0）的所有点 P （3）在平面 a 内，线段 AB 的垂直平分线 （4）不等式 2x82 的解集 2. 用不同的方法表示下列集合 （1） 2，4，6，8 （2） xx2x10 （3） xN3x7 3. 已知 AxN66xN 试用列举法表示集合 A （A0，3，5 ） 4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合 练习 1. 用适当的方法表示下列集合 （1）构成英语单词 mathematics（数字）的全体字母 （2）在自然集内，小于 1000 的奇数构成的集合 （3）矩形构成的集合 2. 用描述法表示下列集合 （1） 3，9，27，81， （2） 四、拓展延伸 把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述 （1） （x，y）yx21，xR （2） yyx21，xR （3） （x，y）yx21，xR （4） xyx21，yN* 点评 这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问 题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表 示方法非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点这样做，通俗易懂，使学生便于学习 和掌握例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益拓 展延伸注重数学语言的转化和训练， 注重区分形似而质异的数学问题， 加强了学生对数学概 念的理解和认识