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2018 年上海市春季高考年上海市春季高考数学试卷数学试卷 2018.01 一一. 填空题(本大题共填空题(本大题共 12 题,题,满分满分 54 分,第分,第 16 题每题题每题 4 分,第分,第 712 题每题题每题 5 分分) 1. 不等式|1x 的解集为 2. 计算: 31 lim 2 n n n 3. 设集合 |02Axx, | 11Bxx ,则AB 4. 若复数1iz (i 是虚数单位) ,则 2 z z 5. 已知 n a是等差数列,若 28 10aa,则 357 aaa 6. 已知平面上动点P到两个定点(1,0)和( 1,0)的距离之和等于 4,则动点P的轨迹方程 为 7. 如图,在长方体 1111 ABCDABC D中,3AB ,4BC , 1 5AA ,O 是 11 AC的中点, 则三棱锥 11 AAOB的体积为 (第 7 题)(第 12 题) 8. 某校组队参加辩论赛,从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩,若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩,则不同的安排方法种数为(结果用数值表示) 9. 设aR,若 29 2 ()x x 与 9 2 () a x x 的二项展开式中的常数项相等,则a 10. 设mR,若 z 是关于 x 的方程 22 10xmxm 的一个虚根,则|z的取值范围是 11. 设0a ,函数( )2(1)sin()f xxxax,(0,1)x,若函数21yx与( )yf x的 图像有且仅有两个不同的公共点,则 a 的取值范围是 12. 如图,正方形 ABCD 的边长为 20 米,圆 O 的半径为 1 米,圆心是正方形的中心,点 P、 Q 分别在线段 AD、CB 上,若线段 PQ 与圆 O 有公共点,则称点 Q 在点 P 的“盲区”中, 已知点 P 以 1.5 米/秒的速度从 A 出发向 D 移动, 同时, 点 Q 以 1 米/秒的速度从 C 出发向 B 移动,则在点 P 从 A 移动到 D 的过程中,点 Q 在点 P 的盲区中的时长约为秒 (精确到 0.1) 二二. 选择题(本大题共选择题(本大题共 4 题,每题题,每题 5 分,共分,共 20 分)分) 13. 下列函数中,为偶函数的是() A. 2 yxB. 1 3 yx C. 1 2 yx D. 3 yx 14. 如图,在直三棱柱 111 ABCABC的棱所在的直线中, 与直线 1 BC异面的直线的条数为() A. 1B. 2C. 3D. 4 15. 设 n S为数列 n a的前n项和,“ n a是递增数列”是“ n S是递增数列”的() A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 已知 A、B 为平面上的两个定点,且| 2AB ,该平面上的动线段PQ的端点P、Q, 满足| 5AP ,6AP AB ,2AQAP ,则动线段PQ所形成图形的面积为() A. 36B. 60C. 72D. 108 三三. 解答题(本大题共解答题(本大题共 5 题,共题,共 14+14+14+16+18=76 分)分) 17. 已知cosyx. (1)若 1 ( ) 3 f,且0, ,求() 3 f 的值; (2)求函数(2 )2 ( )yfxf x的最小值. 18. 已知aR,双曲线 2 2 2 :1 x y a . (1)若点(2,1)在上,求的焦点坐标; (2)若1a ,直线1ykx与相交于A、B两点,且线段AB中点的横坐标为 1,求实 数k的值. 19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面,所得截线是抛物线”的几何原理,某快餐店用 两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识,如图 1 所示,图 2 是投影射出的 抛物线的平面图,图 3 是一个射灯投影的直观图,在图 2 与图 3 中,点O、A、B在抛物 线上,OC是抛物线的对称轴,OCAB于C,3AB 米,4.5OC 米. (1)求抛物线的焦点到准线的距离; (2)在图 3 中,已知OC平行于圆锥的母线SD,AB、DE是圆锥底面的直径,求圆锥的 母线与轴的夹角的大小(精确到 0.01). (图 1)(图 2)(图 3) 20. 设0a ,函数 1 ( ) 12x f x a . (1)若1a ,求( )f x的反函数 1( ) fx ; (2)求函数( )()yf xfx的最大值(用a表示) ; (3)设( )( )(1)g xf xf x,若对任意(,0x ,( )(0)g xg恒成立,求a取值范围. 21. 若 n c是递增数列,数列 n a满足:对任意 * nN,存在 * mN,使得 1 0 mn mn ac ac , 则称 n a是 n c的“分隔数列”. (1)设2 n cn,1 n an,证明:数列 n a是 n c的分隔数列; (2)设4 n cn, n S是 n c的前n项和, 32nn dc ,判断数列 n S是否是数列 n d的 分隔数列,并说明理由; (3)设 1n n caq , n T是 n c的前n项和,若数列 n T是 n c的分隔数列,求实数a、q的 取值范围. 参考答案参考答案 一一. 填空题填空题 1.(, 1)(1,) 2. 33.(0,1)4. 25. 15 6. 22 1 43 xy 7. 58. 1809. 410. 3 (,) 3 11. 1119 (, 66 12. 4.4 二二. 选择题选择题 13.A14. C15. D16. B 三三. 解答题解答题 17.(1) 12 6 6 ; (2) 3 2 . 18.(1)( 3,0),(3,0); (2) 51 2 . 19.(1) 1 4 ; (2)9.59. 20.(1) 1 2 1 ( )log x fx x (01x) ; (2) max 2 1 12 y aa (0x 时取最值) ; (3)(0, 2. 21.(1)证明略; (2)不是,反例:4n 时,m无解; (3) 0 2 a q .
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