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1第三讲 命题与条件一、课前练习已知函数 ,集合 ,集合 ,2()1,fxaRx()Axf()Bxfx且 ,求实数 的取值范围。AB解:二、知识要点1、命题与推出关系(1)命题:表示判断的语句叫做命题.一般由条件和结论构成.(2)推出关系:如果 这件事成立可以推出 这件事也成立,那么就说由 可以推出 ,记作:.(3)正确的命题叫做真命题.确定一个命题是真命题必须作出证明,即证明满足命题条件能推出命题结论;错误的命题叫做假命题. 确定一个命题是假命题只需举反例,即举出一个满足命题条件而不满足命题结论的例子.例 1、判断下列语句是否为命题?如果是命题,判断它们是真命题还是假命题?为什么?(1) 你是高一学生吗?(2) 过直线 AB 外一点作该直线的平行线(3) 个位数是 5 的自然数能被 5 整除(4) 互为余角的两个角不相等(5) 竟然得到 59 的结果!(6) 如果两个三角形的三个角分别对应相等,那么这两个三角形相似解:由例 1 的(4)可以看到,要确定一个命题是假命题,只要举出一个满足命题的条件,而不满足其结论的例子即可,这在数学中称为“举反例” 要确定一个命题是真命题,就必须作出证明,证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论一般地,如果事件 成立可以推出事件 也成立,那么就说由 可以推出 ,并用记号 表示,读作“ 推出 ”换言之, 表示以 为条件, 为结论的命题是真命题2如果事件 成立,而事件 不能成立,那么就说事件 不能推出事件 成立,可记作 换言之 , 表示以 为条件, 为结论的命题是一个假命题如果 ,并且 ,那么记作 ,叫做 与 等价显然,推出关系满足传递性: , ,那么 2、四种命题形式如果用 和 分别表示原命题的条件和结论,用 和 分别表示 和 的否定,那么四种命题形式是:原命题:如果 ,那么 . 逆命题:如果 ,那么 .否命题:如果 ,那么 . 逆否命题:如果 ,那么 .其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题,同真或同假。互为逆否命题的两个命题是等价命题.3、充分条件与必要条件如果 ,那么 是 的充分条件.如果 ,那么 是 的必要条件.如果 且 ,即 ,那么 是 的充分而且必要条件,简称充要条件.4、子集与推出关系若 , ,则 与 等价.Ax具 有 性 质 Bx具 有 性 质 AB例 2、判断下列命题的真假,并说明理由:(1)三点确定一个圆;(2)若 ,则 ;A或(3)设 ,若 是 的整数倍,则 中至少有一个是 的整数倍;*Ncba、 abcba、 c(4)如果 中 ,那么这个方程有实数根;)0(2x(5)若 ,则 。CBA,A解:3例 3、写出下列命题的否定形式:(1) 都是零;(2)方程 无实数根;ba、 0432x(3)我班至少有两个学生是三好学生;(4)存在实数 ,使得 。x012x解:注: “都是”-“不都是” ; “一定是”-“一定不是” ;“至多一个”-“至少两个” ; “且”-“或” ;“都不是”-“至少有一个是” ;“所有- 都-”-“至少有一个- 不-” 。例 4、写出命题“已知 ,若 且 ,则 ”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断,xyR0xy0x四个命题的真假.解:例 5、判断下列条件是结论的什么条件:(1)集合“ ”是“ ”的 条件ABCB(2) ,则“ ”是“ ”的 条件2,xR021x且 02121xx且(3) ,则“ 且 ”是“ 且 ”的 条件yy4y(4) ,则“ ”是“ 且 ”的 条件,xxx解:4例 6、已知实系数一元二次方程 ,试写出下列各条件的一个充要条件:20axbca(1)方程有一个正根、一个负根; (2)方程有两个正根; (3)方程有两个不同负根; (4)方程有一个正根、一个根为 ;(5)方程有一个根大于 1、一个根小于 1解:例 7、试用集合的包含关系说明 是 的什么条件(1) : x=1, y=2 : x+y=3(2) :正整数 n 被 5 整除, :正整数 n 的个位数为 5.解:例 8、设 :1 x3, : a+1x2a 1,若 是 的必要条件,求实数 a 的取值范围.解:例 9、命题甲:关于 的方程 有两个均小于 的不同实根.命题乙:x24130axaR2关于 的不等式 对一切实数 都成立.问:甲是乙的什么条件?并说明理由.10ax解:5例 10、集合 ,问是2 2(,)|1,(,)|450,AxyBxyxy(,)|Cxykb否存在自然数 使得 ,并证明。kb()C解:三、巩固与提高1、命题“对任意的 , ”的否定是( ) xR3210x(A)不存在 , (B)存在 ,xR3210x(C)存在 , (D)对任意的 ,x32x2、设 是一元二次方程 的两实根,则 成立的必要条件是( ) 12, 0abc12,xA ; B ; C ; D 1268x124x124()0124x3、若 都是实数, 试从 A、 ,B 、 , C、 , D、 ,E、cba, 0ab0b2ba0ab, F、 中分别选出适合下列条件的代号填空02使 、 都是 0 的充分条件是_;使 、 都不是 0 的充分条件是_;ab使 、 中至少有个是 0 的充要条件是_;使 、 中至少有一个不是 0 的充要条件是_4、若命题 的逆命题是 ,命题 的否命题是 ,则命题 是命题 的 。pqpq5、设 ,则“ ”的 条件是“ ”. xyR、 3xy2,1xy6、 “ ”的 条件是“ ”。 a1a7、 “ ”是 的 条件. 2x2x8、已知命题“ ” 和“ ”都是真命题,则“ ”是“ ”的bcdbefcdef条件。9、已知原命题的否命题是“若 且 ,则 ”,那么原命题的逆命题是 . 3x2260x610、写出命题:“设 ,如果 ,那么 .”的等价命题,abcR0abc220abc_。11、设 ,则“ ”的一个必要不充分条件是 . 、 012、关于 x 的方程|x|-|x-1|=2a+1 有解的充要条件是_。13、设 ,若 ,则 或 或 .写出该命题的逆命题,否命题,逆否命题,abc、 、 abc0bc并判断上述四个命题的真假解:14、(1)写出命题“全等三角形两边和其中一边的对角对应相等”的逆命题;(2)写出命题“若 a1 或 b2,则 a2+b22 a4 b+50”的否命题;(3)写出命题“若 a 1/a,则 a1”的逆否命题;(4)写出命题“若 A B,则 A B B”的逆否命题解:15、设 : 有两个不相等的负实根; : 无实根;p012mxq2410xmx若“ 或 ”为真,而“ 且 ”为假,求实数 的取值范围。qpq解:16、已知抛物线 , , 至少有一条与 轴相243yxa221yxa2yxax交,求实数 的取值范围。解:
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