2012届高三理科数学试卷第卷 选择题（共40分）一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1、已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2、设数列是等差数列，若数列的前n项和取得最小值，则n的值为（ ）A4B7C8D153、已知随机变量服从正态分布，则（ ） A、B、C、D、4、在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）A若向量a=(x，y)，向量b=(y，x), (x y 0 )，则abB满足的平行四边形ABCD是菱形；C满足的三点、共线（其中）；DABC中，和的夹角等于180A。5、关于函数的表述正确的是（ ）A. 周期是；B. 最小值为；C. 当时为偶函数；D. 当时,可以由的图像向左平移个单位得到该函数图像。6、已知，则“” 是“在上单调递减”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7、运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函数是（ ）ABCD8、点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于点、（在轴左侧）。若，则直线的倾斜角是（ ）A B C D 第卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9、某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为，且已知初中生有人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为的学生样本，以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是 。10、若实数、满足（其中i为虚数单位），则_ 。Oxy-1-1211、如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分，则这个不等式组是 。12、已知函数，令，则二项式展开式中常数项是第 项。13、已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)_ 矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线与圆相交于A、B两点，若|AB|=4，则直线的极坐标方程为_ 。15. （平面几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，。则_ 。三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、（本题满分12分）已知某公司2007年2011年的产品抽检情况如下表：由于受到欧债危机的影响，2012年计划生产8500件该产品，若生产一件合格产品盈利0.5万元，生产一件次品亏损0.3万元。（1）完成题中表格，并指出该工厂生产的该产品的合格率最接近于哪个数值？（精确到）（2）以（1）中的数值作为该产品的合格率，请你帮该工厂作出经营利润方面的预测。BCD、（本题满分12分）我国南海海域是重要的海上通道，在相距100海里的A、C两岛上设有监测站，为了测量海平面上两油轮B、D间的距离，现测得，（在同一个水平面内）求B、D两油轮之间的距离18、（本题满分14分）如图所示，在矩形ABCD中，是对角线，过A作，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将向上折起，使点D到点P的位置，且（1）求证：平面ABCE；（2）求二面角EAPB的余弦值。19、（本题满分14分）已知等差数列的首项，公差，前项和为。（1）求当时，的最小值；（2）若数列的前项和满足 (，且)，求数列的通项公式；（3）求数列的前项和。20、(本题满分14分) 已知:以点C 为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点(1)设直线与圆C相交于点M、N，且,求圆C的方程；(2)求证：AOB的面积为定值；(3)在(1)的条件下，设P是直线l：上的动点，Q是圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标21、（本题满分14分）已知函数。(1)当，求函数的单调区间；（2）当，且时，证明：函数在在区间上不存在零点；（3）若，当时，。证明：当时，。2012届高三理科数学试题参考答案1、B。2、B.3、A 4、C.5、C. 6、B.7、B.8、D 9、。10、 2 . 11、12、5。13、 14、。15、。16、【解析】:（1）合格率分别为2分该产品的合格率接近于数值，即。 分 （2）设件产品中的合格产品的数量为，则为随机变量，且。分故（件）。分即预测年该产品的合格产品数量为件。10分从而经营利润为（万元）。分BCD17、【解析】：如图，连结，在中， 2分所以 4分又因为， 故是底边的中垂线，所以 6分在中， 7分 8分由正弦定理得， 9分 即， 10分 因此， 11分答：B、D两油轮之间的距离为海里. 12分18、【解析】（1）证法1：由已知有，分证法2：由题意得，1分，得。3分（2）分，13分二面角的余弦值为。 14分19、【解析】：（1），分，分当且仅当，即时，上式取等号。分的最小值为。5分（2）由题意可知当时，6分 当时， （1） （2） 用（1）式减去（2）式得：8分 所以数列是等比数列，所以。9分（3）记的前项和为，则10分11分12分。14分20、【解析】： (1)，又直线的斜率为,2分则直线的斜率，. 3分圆心为,圆的方程为. 4分 (2)证明:由题设知，圆的方程为 5分化简得，6分当时，或，则； 7分当时，或，则 8分为定值9分 (3)解:点关于直线的对称点为10分则 11分又到圆上点的最短距离为. 12分所以的最小值为，直线的方程为，则直线与直线的交点的坐标为. 14分21、【解析】: (1)，1分当时，易得，当得，当得，函数的增区间为，减区间为。2分当时，方程的判别式是，当时得，此时，故函数的单调减区间是。3分当时得，方程的根是。若，易得当和时，；当时，；故函数的减区间是和，增区间是 ；4分若，易得和时，；时，；故函数的增区间是和，减区间是 。5分综上可知，当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的单调减区间是；当时，函数的减区间是和，增区间是 ；当时，函数的增区间是和，减区间是。（2）证明：由（1）知，在区间上是减函数。又，6分故在区间上是减函数。7分 又，即在区间上恒大于，8分 故当时，函数在在区间上不存在零点。9分（3）证法1：由条件当时，取得，即。 10分当时，在上为增函数，所以。又因为，所以；，由此得。 11分当时，在上为减函数，所以。又因为，所以；，由此得。 12分当时，又，所以。 13分综上可知，。 14分证法2：由得 10分，12分当时，根据绝对值不等式的性质，得， 13分所以。 14分第 11 页 共 11 页