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2009年全国卷理科数学试题解析一选择题:1. A. B. C. D. 解:原式.故选A.2. 设集合,则=A. B. C. D. 解:.故选B.3. 已知中, 则A. B. C. D. 解:已知中,. 故选D.4.曲线在点处的切线方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 解:,故切线方程为,即 故选B.5. 已知正四棱柱中,为中点,则异面直线与所成的角的余弦值为A. B. C. D. 解:令则,连 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C6. 已知向量,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 解:。故选C7. 设,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 解: .故选A.8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后,与函数的图像重合,则的最小值为A B. C. D. 解:,又.故选D9. 已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若,则A. B. C. D. 解:设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种解:用间接法即可.种. 故选C11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B. C. D. 解:设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 故选A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解:展、折问题。易判断选B第II卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡上。13. 的展开式中的系数为 6 。解:,只需求展开式中的含项的系数: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14. 设等差数列的前项和为,若则 9 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解:为等差数列,15.设是球的半径,是的中点,过且与成45角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于,则球的表面积等于 .解:设球半径为,圆的半径为, 因为。由得.故球的表面积等于.16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦,垂足为,则四边形的面积的最大值为 。解:设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)设的内角、的对边长分别为、,求。分析:由,易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得;又由,利用正弦定理进行边角互化,得,进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当时,由,进而得,矛盾,应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。评析:本小题考生得分易,但得满分难。18(本小题满分12分) 如图,直三棱柱中,、分别为、的中点,平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I)证明:(II)设二面角为60,求与平面所成的角的大小。(I)分析一:连结BE,为直三棱柱, 为的中点,。又平面,(射影相等的两条斜线段相等)而平面,(相等的斜线段的射影相等)。分析二:取的中点,证四边形为平行四边形,进而证,得也可。分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。(II)分析一:求与平面所成的线面角,只需求点到面的距离即可。作于,连,则,为二面角的平面角,.不妨设,则.在中,由,易得. 设点到面的距离为,与平面所成的角为。利用,可求得,又可求得 即与平面所成的角为分析二:作出与平面所成的角再行求解。如图可证得,所以面。由分析一易知:四边形为正方形,连,并设交点为,则,为在面内的射影。以下略。分析三:利用空间向量的方法求出面的法向量,则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。19(本小题满分12分)设数列的前项和为 已知(I)设,证明数列是等比数列 (II)求数列的通项公式。解:(I)由及,有由, 则当时,有得又,是首项,公比为的等比数列(II)由(I)可得,数列是首项为,公差为的等比数列, 评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找第(II)问中由(I)易得,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:,主要的处理手段是两边除以总体来说,09年高考理科数学全国I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列(全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法),一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20(本小题满分12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。(I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(III)记表示抽取的3名工人中男工人数,求的分布列及数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析:(I)这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。(II)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率(III)的可能取值为0,1,2,3,分布列及期望略。评析:本题较常规,比08年的概率统计题要容易。在计算时,采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力。(21)(本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线与相交于、两点,当的斜率为1时,坐标原点到的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I)求,的值; (II)上是否存在点P,使得当绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与的方程;若不存在,说明理由。解:(I)设,直线,由坐标原点到的距离为 则,解得 .又.(II)由(I)知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0,故不妨设 代入椭圆的方程中整理得,显然。由韦达定理有:.假设存在点P,使成立,则其充要条件为:点,点P在椭圆上,即。整理得。又在椭圆上,即.故将及代入解得,=,即.当;当.评析:处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”,主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如:三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算?在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点。22.(本小题满分12分)设函数有两个极值点,且(I)求的取值范围,并讨论的单调性;(II)证明: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: (I) 令,其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得当时,在内为增函数;当时,在内为减函数;当时,在内为增函数;(II)由(I),设,则当时,在单调递增;当时,在单调递减。故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.comwww.ks5u.com
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