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限时规范训练六导数的简单应用一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)1设函数f(x)aln x,若f(2)3,则实数a的值为()A4B4C2D2解析:选B.f(x),故f(2)3,因此a4.2曲线yex在点A处的切线与直线xy30平行,则点A的坐标为()A(1,e1)B(0,1)C(1,e)D(0,2)解析:选B.设A(x0,e),yex,y|e.由导数的几何意义可知切线的斜率ke.由切线与直线xy30平行可得切线的斜率k1.e1,x00,A(0,1)故选B.3若函数f(x)x32cx2x有极值点,则实数c的取值范围为 ()A.B.C.D.解析:选D.若函数f(x)x32cx2x有极值点,则f(x)3x24cx10有两根,故(4c)2120,从而c或c.4已知f(x)aln xx2(a0),若对任意两个不等的正实数x1,x2都有2恒成立,则实数a的取值范围是()A1,)B(1,)C(0,1)D(0,1解析:选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2,所以函数的导数f(x)x2.可得x时,f(x)有最小值2.a1.5若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()AfBfCfDf解析:选C.构造函数g(x)f(x)kx1,则g(x)f(x)k0,g(x)在R上为增函数k1,0,则gg(0)而g(0)f(0)10,gf10,即f1,所以选项C错误,故选C.6由曲线yx2,y围成的封闭图形的面积为()A. B.C.D1解析:选B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为(x2)dx.所以选B.二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)7(2016高考全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线,也是曲线yln(x1)的切线,则b_.解析:直线ykxb与曲线yln x2,yln(x1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由yln x2得y,由yln(x1)得y,k,x1,x21,y1ln k2,y2ln k.即A,B,A、B在直线ykxb上,解得答案:1ln 28已知函数f(x)x23x4ln x在(t,t1)上不单调,则实数t的取值范围是_解析:由题意得,f(x)的定义域为(0,),t0,f(x)x30在(t,t1)上有解,0在(t,t1)上有解,x23x40在(t,t1)上有解,由x23x40得x1或x4(舍去),1(t,t1),t(0,1),故实数t的取值范围是(0,1)答案:(0,1)9若f(x)x2bln(x2)在(1,)上是减函数,则实数b的最大值是_解析:函数的定义域是x20,即x2,而f(x)x.因为x20,函数f(x)x2bln(x2)在(1,)上是减函数,即x22xb0在x(1,)上恒成立,得bx22x在x(1,)上恒成立,令g(x)x22x(x1)21,x(1,),g(x)g(1)1,所以b1.所以b的最大值为1.答案:1三、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分)10已知f(x)2x3.(1)求证:当x0时,f(x)取得极小值;(2)是否存在满足nm0的实数m,n,当xm,n时,f(x)的值域为m,n?若存在,求m,n的值;若不存在,请说明理由解:(1)证明:由已知得f(x)的定义域为.当x时,f(x)2.设F(x)8x28x2ln(2x1),则f(x).当x时,y8x28x822是单调递增函数,y2ln(2x1)也是单调递增函数当x时,F(x)8x28x2ln(2x1)单调递增当x0时,F(x)F(0)0,当x0时,F(x)F(0)0.当x0时,f(x)0,f(x)单调递减,当x0时,f(x)0,f(x)单调递增当x0时,f(x)取得极小值(2)由(1)知f(x)在0,)上是单调递增函数,若存在满足nm0的实数m,n,当xm,n时,f(x)的值域为m,n,则f(m)m,f(n)n,即f(x)x在0,)上有两个不等的实根m,n.2x27x3ln(2x1)0在0,)上有两个不等的实根m,n.设H(x)2x27x3ln(2x1),则H(x).当x0时,2x10,8x218x50,H(x)0.H(x)在0,)上是单调递增函数,即当x0时,H(x)H(0)3.2x27x3ln(2x1)0在0,)上没有实数根不存在满足条件的实数m,n.11(2017河南郑州质量检测)设函数f(x)x2mln x,g(x)x2(m1)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m0时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x),当m0时,f(x)0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,),无单调递减区间当m0时,f(x),当0x时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当x时,f(x)0,函数f(x)单调递增综上,当m0时,函数f(x)的单调递增区间是(0,),无单调递减区间;当m0时,函数f(x)的单调递增区间是(,),单调递减区间是(0,)(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x,x0,问题等价于求函数F(x)的零点个数,当m0时,F(x)x2x,x0,有唯一零点;当m0时,F(x),当m1时,F(x)0,函数F(x)为减函数,注意到F(1)0,F(4)ln 40,所以F(x)有唯一零点当m1时,0x1或xm时,F(x)0;1xm时,F(x)0,所以函数F(x)在(0,1)和(m,)上单调递减,在(1,m)上单调递增,注意到F(1)m0,F(2m2)mln(2m2)0,所以F(x)有唯一零点当0m1时,0xm或x1时,F(x)0;mx1时,F(x)0,所以函数F(x)在(0,m)和(1,)上单调递减,在(m,1)上单调递增,易得ln m0,所以F(m)(m22ln m)0,而F(2m2)mln(2m2)0,所以F(x)有唯一零点综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象有一个交点12(2017河南洛阳模拟)已知函数f(x)ln x,曲线yf(x)在点处的切线平行于直线y10x1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设直线l为函数g(x)ln x的图象上任意一点A(x0,y0)处的切线,在区间(1,)上是否存在x0,使得直线l与曲线h(x)ex也相切?若存在,满足条件的x0有几个?解:(1)函数f(x)ln x,f(x),曲线yf(x)在点处的切线平行于直线y10x1,f28a10,a1,f(x).x0且x1,f(x)0,函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,)(2)存在且唯一,证明如下:g(x)ln x,切线l的方程为yln x0(xx0),即yxln x01,设直线l与曲线h(x)ex相切于点(x1,ex1),h(x)ex,ex1,x1ln x0,直线l的方程也可以写成y(xln x0),即yx,由得ln x01,ln x0.证明:在区间(1,)上x0存在且唯一由(1)可知,f(x)ln x在区间(1,)上单调递增,又f(e)0,f(e2)0,结合零点存在性定理,说明方程f(x)0必在区间(e,e2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一x0.- 6 -
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