12 点、线、面之间的位置关系 12.1 平面的基本性质,栏目链接,课 标 点 击,1了解平面的含义，掌握平面的画法及表示 2理解平面的基本性质，掌握其简单应用 3正确使用图形语言和符号语言,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,点、线共面,(1)不共面的四点可以确定几个平面？ (2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ (3)共点的三条直线可以确定几个平面？ 分析：(1)可利用公理2判定 (2)可利用公理3的推论3判定 (3)需分类讨论进行判定,栏目链接,解析：(1)不共面的四点组成一个三棱锥即四面体，故可以确定四个平面 (2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平面 (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面 规律总结：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏平面的确定问题主要是根据已知条件、公理3及其三个推论来判定平面的个数,栏目链接,变式训练 1过三点能确定_个平面 解析：若三点共线能确定无数个平面；若三点不共线只能确定一个平面 答案：1个或无数,栏目链接,点共线问题,正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M三点共线 分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可,栏目链接,规律总结：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上,栏目链接,线共点问题,栏目链接,EHFG，且EHFG. 故四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P. P直线EF，EF平面ABC， P平面ABC. 同理P平面ADC， P在平面ABC和平面ADC的交线AC上 故EF、GH、AC三直线交于一点,栏目链接,规律总结：平面几何中证多线共点的思维方法适用于空间，只是在思考中应考虑到空间图形的新特点,栏目链接,变式训练 2如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：FE，HG，DC三线共点,栏目链接,证明：如图，连接C1B，由题意知HC1綊EB， 四边形HC1BE是平行四边形 HEC1B. 又C1GGC，CFBF，故GF綊C1B.,GFHE，且GFHE. HG与EF相交设交点为K，则KHG，又HG面D1C1CD， K面D1C1CD. KEF，EF面ABCD，K面ABCD. 面D1C1CD面ABCDDC， KDC.FE、HG、DC三线共点,栏目链接,公理3的三个推论,求证：两两相交且不共点的四条直线共面 分析：首先应分析两两相交且不共点的四条直线有几种情况，本题四线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况证明 第一种，四条直线中每三条直线都不交于一点 第二种，四条直线中有三条直线交于一点,栏目链接,证明：方法一 设a、b、c、d为两两相交且不共点的四条直线 若a、b、c共点且交点为P，如右图，d与a、b、c分别交于S、R、Q. adS， a、d确定一个平面，设为(公理3的推论2) Qd，Pa，a、d， Q、P. 又Pc，Qc， c(公理1),栏目链接,同理，b，a、b、c、d共面 若a、b、c、d每三条都不交于一点， 如右图，adP，bdQ，cdR，abS，acM，bcN. adP， a、d确定一个平面，设为. Qd，Sa，a、d， Q、S. 又Qb，Sb， b.同理c， a、b、c、d共面,栏目链接,方法二 若a、b、c相交于点P. abP，a、b确定一平面. daS，dbR，S、R，d. bcP，b、c确定一平面. dcQ，dbR， R、Q.d. 存在两相交直线b、d既在内，又在内 与重合a、b、c、d共面,栏目链接,若a、b、c、d无三线交于一点， 由a、b确定平面，d、c确定平面， caM，cbN，dbQ， M，N，Q. M、N、Q不共线， 、有三个不共线的公共点 、重合，即a、b、c、d共面,栏目链接,规律总结：四条直线两两相交且不交于一点与三条直线两两相交且不交于一点不同，后者只是一种情况，前者是两种情况 证共面用上述方法，即先用已知确定一平面，再证其余元素在此平面内,栏目链接,变式训练 3如右图，经过直线a外一点A，引三条直线分别与a相交于点B、C、D. 求证：a、AB、AC、AD四线共面,栏目链接,证明：点A是直线a外的一点， 由推论1可知：经过直线a和点A的平面有且只有一个，设为平面. B、C、Da，B、C、D.又A， 直线AB、AC、AD均在平面内 a、AB、AC、AD四线共面,