笛六章常微分方程OrdinaryDifferentialEquations第一节微分方程的基本概念*常微分方程*微分方程的阶*解微分方程*微分方程的神识条件*微分方程的通解*微分方程的特解*微分方程的几何意义一、微分方程概念定义:把联系自变量、未知函数及未知函数导数(或微分的关系式称为微分方程.例:判断下列关系式是否是微分方程D空=2X(2)xdy一ydx=0;r广7axfdrf有5Cyax_sinlj(3)嚣+圹责董十x二03(2十万十3x二Sinf(3)竺十竺=Z22(6)粤+粤+兀+y7z=O.2r“D注意:一个关系式要成为微分方程,要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分,但其中的自变量或未知函数可以不显含.如果在一个微分方程中,自变量的个数只有一个,则这样的微分方程称为常微分方程。40)半=2巍(2)xdy-yqxr=0;乙/4旷4吴洁(3)_+生【十x二0:白“5+3x_sm卯果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。22(心+志-z;(6)崴兰鲤+X+y一膘Z=0.2r882r202微分方程:吾街来知函数的导数(发微分)的方程。常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程。健微分於程:未知函数是多元函数的微分方程。二、微分方程的阶(Order)定义:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数(D垮-(2)xdy-ydx=04|+x=0伟+5CLE+3x-sint止十亡二不孙三、微分方程的解(Value)例2:证明y=sx,y=cosx,=ClsinX+CacosX(CoCa为常数)都是徽分方程y“y=0在了=(-on,+oo)上的解.证明:对y=sx,因为y=cosx,y“=-simx,所以70对任意的xeI.于是由定义可知:y=six是方程4=0在T=(-oyeo)上的解,同理可证:。了=cos与=CsinX+Cacos仁习都是方程y“+y=0在T=(-,+eo)上的解.。三、微分方程的解(CValue)解微分方程:求解未知数的过程微分方程的通解:解中含有任意常数且个数与微分方程的阶数相同初始条件:所给定的自变量的值及对应的函数值和导数值微分方程的特解:通解中任意常数为确定值时的解四、微分方程的几何意义积分曲线:微分方程的特解了=十(的几何图形,称为微分方程的一李积分曲线。$6.2“可切变量的微分方程一、变量可分离的微分方程行如:咖=一GD.gG)水恩自加人明y业一一一二乔(Cx)CQzr解法:g(y)万两迅积分有|12心|1Cgaxg(y)