2.3幂函数【双向目标】课程目标学科素养A掌握幂函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为幂函数B)能根据幂函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出幂函数的性质C. 能根据幂函数的性质解决和幂函数有关的问题a数学抽象：幂函数概念的理解，会根据定义判断一个函数是否为幂函数b逻辑推理：通过观察图象，总结出幂函数的相关性质c数学运算：根据单调性等性质计算参数的值d 直观想象：做出幂函数图像并能识别图像e 数学建模：能用幂函数的思想解决生活中的实际问题【课标知识】知识提炼基础过关知识点1：.幂函数定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是实常数知识点2：幂函数图像及其性质幂函数，1的图象如图所示： (1)所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 (2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数， (3)0时，幂函数的图象在区间(0，)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴 (4)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数1若集合,则（ ）A. B. C. D.2.幂函数的图象经过点，则的解析式为（ ）A B C D3.给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是幂函数的序号为（ ）A（2）（3） B（1）（2） C（2）（3）（5） D（1）（2）（3）4.函数的大致图象是（ ） 5.，则、的大小关系为_ 基础过关参考答案：旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。1 【答案】A4.【解析】根据幂函数的图像和性质，知函数的定义域为，函数在其定义域内单调递减.故选A.【答案】A5.【解析】根据幂函数的性质，因为是上的增函数，所以，因为指数函数是上的减函数，所以，综上知，故填【答案】【能力素养】探究一 幂函数的图象例1 如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),则函数y=的图象经过的部分是( ) A.(4)(7)B.(4)(8)C.(3)(7)D.(3)(8)【分析】利用幂函数的图像性质求解. 【答案】B【点评】幂函数在第一象限内的图象特征(如右图）：(1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸).(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点).(3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸).(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点).(5)指数小于0,在第一象限为双曲线型. 五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”即0(1)时的图象是抛物线型(1时的图象是竖直抛物线型,01时的图象是横卧抛物线型);0时的图象是双曲线型.【变式训练】1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是 ( ) A.nm0B.mnm0D.mn0【解析】由图象可知,两函数在第一象限内递减,故m0,n2n,则mn.【答案】A2.【安徽省示范高中（皖江八校）2018届高三第八次（5月）联考数学文试题】已知函数的图象如图所示,则的大小关系为（ ） A B C D 【解析】由图像可知，得，故选A.【答案】A探究二 求解幂函数的解析式例2：如图,幂函数y=x3m-7(mN)的图象关于y轴对称,且与x轴,y轴均无交点,求此函数的解析式. 【分析】利用幂函数图像的特点来求解 【答案】y=x-4【点评】求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据.若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.(2)常用方法.设幂函数解析式为,根据条件求出. 【变式训练】1.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m取值是 .【解析】由题意知,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,故m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即m=1或2.【答案】1或22.【江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题】幂函数过点，则的值为（ ）A B C D 【解析】由幂函数的定义得k=1.所以，因为幂函数经过点（4,2），所以，即【答案】B3.【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题】已知幂函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) ;(2) .探究三 利用幂函数的单调性比较大小例3：【新疆维吾尔自治区2018届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题】已知点在幂函数的图象上，设， ， ，则， ， 的大小关系为（ ）A B C D 【分析】利用幂函数的单调性，利用图像来进行比较大小【解析】 由题意点在幂函数的图象上，即， 则，即，则在上是单调递增函数， 又，所以，所以【答案】A【点评】比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同,还是指数相同,若底数相同,利用指数函数的性质;若指数相同,利用幂函数的性质;若底数、指数皆不相同,考虑用中间值法,常用0和1“搭桥”进行分组.【变式训练】1.【宿州市十三所重点中学20172018学年度第二学期期中质量检测高一数学】已知，则的大小关系为（ ）A B C D 【答案】C2.三个数的大小顺序为（ ）A B C D【解析】,故.【答案】B 【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析A1B9，2,6，11,3,4C10,135,7，12,14,158一、选择题1幂函数的图象经过点（2，4），则 （ ）A. 1 B. 3 C. 9 D. 81【解析】幂函数的图象经过点（2，4），所以，.【答案】D2已知，令，那么之间的大小关系为（ ）A B C D【解析】，即，故选C【答案】C3如图所示，C1，C2，C3为三个幂函数yxk在第一象限内的图像，则解析式中指数k的值依次可以是（ ） A1，3 B1，3，C，1，3 D，3，1 【答案】A4. 已知函数，（其中且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（ ） 【解析】若a1则三个函数在第一象限都是增函数且过（0,1），过原点，过（1,0）故此时C符合要求,故选C 【答案】C5已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）A. B. C. D. 大小不能确定【解析】，因为为奇数且大于零，所以，选A.【答案】A6设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的值的个数为（ ）A 6 B5 C4 D3 【答案】D7. 设，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【解析】由题意得，当时，因此，故选B.【答案】B8. 在同一坐标系中，函数，的图象可能是（ ） 【解析】对A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对B,中，中，不符合题意；对C，中，中，不符合题意；对D，中，中，符合题意；故选D.【答案】D2、 填空题9.已知幂函数的图象与轴， 轴均无交点且关于原点对称，则_【解析】由关于原点对称是奇函数 是奇数 .【答案】210. 若幂函数在上为减函数，则实数的值是_ 【答案】 11. 已知函数在区间上的最大值是，则的取值范围是 【解析】，作出函数图象，如图所示，因为函数在上的最大值为，又所以，即 【答案】 12. 若函数是幂函数，则函数（其中a0，a1）的图象过定点A的坐标为 三、解答题 13.已知幂函数在上单调递增，函数（1）求的值；（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围【解析】（1）依题意得：，解得或当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去（2） 由（1）可知，当时，单调递增，故实数的取值范围是 【答案】（1）（2）14.已知幂函数为偶函数.（1）求的值；（2）若，求实数的值.【解析】（1）由，得或3，当时，是奇函数，不满足.当时，满足题意，函数的解析式，.（2）由和可得，或.【答案】（1）；（2）或.15. 已知函数是幂函数，且当时为减函数，（1）求实数m的值；（2）判断函数奇偶性并说明理由。 （2）由（1）知，其定义域是关于原点对称，且满足所以函数是奇函数 【答案】（1）;（2）为奇函数