第七章 立体几何 第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图,【知识梳理】 1.多面体的结构特征,平行且相等,全等,多边,公共点,平行于底面,相似,2.旋转体的形成,任一边,任一直角边,垂直于底边的腰,直径,3.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称: 形成:空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在 这种投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子, 与平面图形的_和_是完全相同的; 名称:三视图包括_、_、_.,形状,大小,正视图,侧视图,俯视图,(2)三视图的画法: 在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成 _. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体 的_方、_方、_方观察到的几何体的正 投影图.,虚线,正前,正左,正上,4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用_画法来画,其规则是: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴, y轴的夹角为_,z轴与x轴和y轴所 在平面_.,斜二测,45或135,垂直,(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍_ _;平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 _;平行于y轴的线段在直观图中_.,平行于,坐标轴,不变,长度为原来的一半,【特别提醒】 1.正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形.,(2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体. 2.三视图的长度特征:长对正,高平齐,宽相等.,3.斜二测画法中,原图形面积S与其直观图面积S的关 系:S= . 4.底面是梯形的四棱柱,侧放后易被看作是四棱台.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P10习题1.1B组T1改编)如图,长 方体ABCD-ABCD被截去一部分,其 中EHAD.剩下的几何体是 ( ) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.简单组合体,【解析】选C.由空间几何体的结构特征知,该剩下部分为五棱柱ABFEA-DCGHD.,2.(必修2P19练习T3改编)利用斜二测画法得到的: 三角形的直观图一定是三角形; 正方形的直观图一定是菱形; 等腰梯形的直观图可以是平行四边形; 菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是_.,【解析】由斜二测画法的规则可知正确;错误,是一般的平行四边形;错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,也错误. 答案:1,感悟考题 试一试 3.(2015北京高考)某四棱锥的三视 图如图所示,该四棱锥最长棱棱长为 ( ) A.1 B. C. D.2,【解题提示】作出直观图,计算出各棱长比较大小. 【解析】选C.由三视图可知AD=BC=CD=DE=EB=1, AE=AC= ,AB= .所以最长棱棱长为 .,4.(2014江西高考)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是 ( ),【解析】选B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影,所以选B.,考向一 空间几何体的结构特征 【典例1】(1)下列说法正确的是 ( ) A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形,C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点,(2)以下命题: 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;,圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; 一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解题导引】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行判断. (2)根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.,【规范解答】(1)选B.A错,如图1;B正确,如图2,其中底面ABCD是矩形,可证明PAB,PCB都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;C错,如图3;D错,由棱台的定义知,其侧棱必相交于同一点.,(2)选B.命题错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题对;命题错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.,【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可. (2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.,(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.,【变式训练】给出下列四个命题: 有两个侧面是矩形的图形是直棱柱; 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; 底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_.,【解析】对于,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故错;对于,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故错;对于,若底面不是矩形,则错;由线面垂直的判定,侧棱垂直于底面,故正确. 综上,命题不正确. 答案:,【加固训练】 1.给出下列命题: 棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; 用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台;,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; 若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 存在每个面都是直角三角形的四面体.,其中正确命题的序号是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错误,因为棱柱的侧面不一 定是全等的平行四边形;错误,必须用平行 于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台;正 确,根据面面垂直的判定定理判断;正确,因为两个过 相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;,正确,如图所示,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个 面都是直角三角形. 因此,正确命题的序号是.,2.给出下列命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; 在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;,圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确命题的序号是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知,只有是正确的,所以选D.,考向二 空间几何体的三视图 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:已知几何体,识别三视图 【典例2】(2016宝鸡模拟)一个四面体的顶点在空间 直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面,则得到正视图可以是 ( ),【解题导引】在空间直角坐标系中找出四个点,然后作出这四个点在平面zOx中的投影,要注意线的实虚.,【规范解答】选A.由已知可作出示意图,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为A选项所示.,命题方向2:已知三视图,判断几何体 【典例3】(2014新课标全国卷)如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( ) (本题源于教材人A必修2P15T4),A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱,【解题导引】结合三视图进行判断,特别注意垂直关系的转化. 【规范解答】选B.将三视图还原为几何体即可.如图所示,几何体为三棱柱.,【技法感悟】 1.已知几何体,识别三视图的技巧 已知几何体画三视图时,可先找出各个顶点在投影面上的投影,然后再确定线在投影面上的实虚.,2.已知三视图,判断几何体的技巧 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. (2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图. (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 易错提醒:对于简单组合体的三视图,应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.,【题组通关】 1.(2016汕头模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图 所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ( ),【解析】选C.A,B,D选项满足三视图作法规则,C不满足三视图作法规则中的宽相等,故C不可能是该锥体的俯视图.,2.(2016衡阳模拟)某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是 ( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台,【解析】选B.因为正视图和侧视图都为三角形,可知几何体为锥体,又因为俯视图为四边形,故该几何体为四棱锥.,3.(2014湖北高考)在如图所示的空间 直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点 坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1), (2,2,2).给出编号为,的四个图,则该四面体 的正视图和俯视图分别为 ( ),A.和 B.和 C.和 D.和,【解析】选D.在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断该四面体的正视图为,俯视图为,故选D.,【加固训练】 (2016西安模拟)将正方体(如图1所示)截去两个三 棱锥,得到如图2所示的几何体,则该几何体的侧视图 为 ( ),【解析】选B.还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线,D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.,考向三 水平放置的平面图形的直观图 【典例4】(1)已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的 水平放置的平面直观图ABC的面积为 ( ),(2)如图,矩形OABC是水平 放置的一个平面图形的直观图,其中 OA=6cm,OC=2cm,则原图形是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形,【解题导引】(1)作出ABC的直观图,根据作法规则求出直观图的底和高,进而求面积. (2)求出OD的长度,根据直观图作出原图形OABC,再求OA与OC的长度,从而判断图形的形状.,【规范解答】(1)选D.如图所示的实际图形和直观图. 由可知,AB=AB=a, OC= 在图中作CDAB于点D, 则 所以SABC=,(2)选C.如图,在原图形OABC中, 应有OD=2OD= (cm), CD=CD=2cm, 所以OC= 所以OA=OC, 故四边形OABC是菱形,因此选C.,【易错警示】解答本例(2)会出现以下错误:(1)在根据直观图作原图形时需要计算OD与CD的长度,易因不能确定AOD的大小而无法求出. (2)确定恢复的原图形是平行四边形后,未计算OC的长度,而导致错选D.,【母题变式】1.若本例(2)条件不变,试求原图形的面 积. 【解析】由例题(2)解法知,原图形面积S=OAOD= 64 =24 (cm2).,2.若本例(2)中直观图为如图所示的一个边长为1cm的正方形,则原图形的周长是多少?,【解析】将直观图还原为平面图形,如图. 可知还原后的图形中OB=2 ,AB= 于是周长为23+21=8(cm).,【规律方法】原图与直观图中的“三变”与“三不变”,【变式训练】一个水平放置的平面图形的斜二测直观 图是直角梯形(如图所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC, 则这个平面图形的面积为 ( ),【解析】选B.如图将直观图ABCD还原后为