门头沟区2013年高三年级抽样测试2013.3数学（理工类）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷l至2页，第卷3至5页，共150分考试时间120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交第卷 (选择题 40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知全集U R，集合A，B，则集合A B等于(A) (B) (C) (D) R 2. “”是“函数在区间上存在零点”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件3下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是 (A)(B)(C)(D) 4有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有(A) 24种(B) 30种(C) 36种(D) 48种5如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PAACAB，则以下结论不正确的是(A) CBCP(B) PCACPABC(C)PC是圆O的切线(D) BCBABP6已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是(A) (B)(C) (D) 主视图1左视图1俯视图17一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A) (B) (C) (D) 8定义在 R上的函数是减函数，且函数的图象关于点成中心对称，若满足不等式组，则当时，的取值范围是(A) (B) (C) (D) 第卷 (非选择题110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9复数，则 10在等差数列中，则等于 11在ABC中，若，则 开始，输出S结束是否12执行如右图所示的程序框图，输出的S值为 13在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量 14定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”。现有定义在上的如下函数：；，则其中是“等比函数”的的序号为 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知：函数（）求函数的对称轴方程；（）当时，求函数的最大值和最小值16（本小题满分14分）ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面； （）求证：平面；（）求二面角的余弦值17（本小题满分13分） 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为010，分为五个级别，02 畅 通；24 基本畅通；46 轻度拥堵；68 中度拥堵；810 严重拥堵 早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图 3456789交通指数频率0.240.20.160.1组距（）这50个路段为中度拥堵的有多少个？ （）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望18(本小题满分14分）已知函数（）函数在点处的切线与直线平行，求的值；（）当时，恒成立，求的取值范围2,4,619（本小题满分13分）在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍（）求动点的轨迹方程；（）设直线与（）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由20（本小题满分13分）对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合已知，（）写出与的值，并用列举法写出集合；（）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（III）有多少个集合对，满足，且门头沟区2013年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分12345678ACBADCCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分91011121314三、解答题：本大题共6小题，共80分15（本小题满分13分）已知：函数（）求函数的对称轴方程；（）当时，求函数的最大值和最小值解：（） 5分 7分 函数关于直线 对称 所以 对称轴方程为 9分 （）当时， 由函数图象可知，的最大值为1，最小值为12分所以函数的最大值为，最小值为 13分16（本小题满分14分）ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（）证明：因为，N是BC的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，xzyACDBN所以 ，所以四边形是菱形，所以所以，即由已知可知 平面平面，因为 平面平面所以平面 4分（）证明：因为， 所以平面平面又因为平面，所以 平面 8分 （）因为平面同理平面，建立如图如示坐标系设， 则, ， 9分则，设平面的法向量为，有 ，得 11分因为平面，所以平面平面又，平面平面所以平面与交于点O，O则为AN的中点，O所以平面的法向量 12分所以 13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为 14分17（本小题满分13分） 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为010，分为五个级别，02 畅 通；24 基本畅通；46 轻度拥堵；68 中度拥堵；810 严重拥堵 3456789交通指数频率0.240.20.160.1组距早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图 （）这50个路段为中度拥堵的有多少个？ （）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望解：（） 这50路段为中度拥堵的有18个 3分 （）设事件A “一个路段严重拥堵”，则 事件B “至少一个路段严重拥堵”，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是8分（III）分布列如下表：303642600.10.440.360.1此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟13分18（本小题满分14分）已知函数（）函数在点的切线与直线平行，求的值；（）当时，恒成立，求的取值范围解： （） 2分， 3分 因为函数在点的切线与直线平行所以， 5分（）令当时，在上，有，函数增；在上，有，函数减， 函数的最小值为0，结论不成立6分当时， 7分若，结论不成立 9分若，则，在上，有，函数增；在上，有，函数减，只需 ，得到，所以 11分若，函数在有极小值，只需得到，因为，所以 13分综上所述， 14分19（本小题满分13分）在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍（）求动点的轨迹方程；（）设直线与（）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（）解：设点的坐标为由题意知 3分化简得 所以动点的轨迹方程为 5分（）设直线的方程为，点因为，所以有，由已知得，所以有（1） 7分由，得，（2），（3） 10分由（1）（2）（3）得或所以 存在点为 13分20（本小题满分13分）对于集合，定义函数对于两个集合，定义集合已知，（）写出与的值，并用列举法写出集合（）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（III）有多少个集合对满足，且（）解：， 1分