数学物理方程 Mathematical Equations for PhysicsMathematical Equations for Physics 用数理方法研究问题的步骤 ?1、写出定解问题 ?2、求解: ?求解方法：行波法、分离变量法、格林函 数法、 ?3、分析解答： 物理意义 ?存在 适应性 稳定 唯一 3 数学物理方程总复习 本次课主要内容 一、偏微分方程理论 二、行波法 三、分离变量法 4 (一)、偏微分方程理论 一、偏微分方程理论 掌握定解问题的建立 a、掌握基本方程的建立 b、掌握定解条件的推导 c、掌握定解问题的概念 5 定解问题的建立 写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出 定解条件（边界条件(包括衔接条件，自然条件） 和初始条件）。 建立偏微分方程的主要方法是微元法 (1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量); (2).进行微元分析； 分析短时间内微元和相邻部分的相互作用，根据物理定 律用算式表达这种作用。 (3).化简、整理算式。 6 如何写出三类边界条件？ (1)、明确环境影响通过的所有边界； (2)、分析边界所处的物理状况； (3)、利用物理规律写出表达边界状况的表 达式。 一、基本方程的建立 用数理方法研究问题的步骤 ?1、写出定解问题 ?偏微分方程偏微分方程：数理方程(一般规律)：数理方程(一般规律) ?定解条件定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)：初始、边界、衔接条件（个性) 掌握三类数理方程的导出 The derivation of three types of mathematical equations for physics 常用物理规律(一) 1、牛顿第二定律 2、胡克定律 2 2 d sdv Fmm dtdt = x PYu= 一、波动方程 对胡克定律的说明： x PYu= 公式中P称为协强或应力。它表示弹性物 体单位截面所受作用力，P=F/S。 公式中ux表示伸长率，称为协变。 Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。 杨氏弹性模量由材料决定！ 例、 弦的横振动 研究张紧的弹性轻研究张紧的弹性轻弦的微小横振动。的微小横振动。 t时刻 位移NM记作u u(x,t) 由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向。 由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向。 ? MM弧段两端 所受的张力记作T,T 现在考虑弧段MM在t时刻的受力情况现在考虑弧段MM在t时刻的受力情况 在在x轴方向弧段受力的总和为轴方向弧段受力的总和为 ? MM cos cos0TaTa= 按照上述弦振动微小的假设，可知在振动过程中弦上M点与M 点处切线的倾角都很小，即从而由 按照上述弦振动微小的假设，可知在振动过程中弦上M点与M 点处切线的倾角都很小，即从而由 0,0 24 cos1 2!4! aa = +? cos1,cos1 TT= 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律Fma= 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律m=Fa u 方向运动的方程可以描述为方向运动的方程可以描述为 sinsinTaTagdsm+ a 又因为又因为 0,0 2 tan( , ) sintan 1tan au x t aa x a = + (, ) sintan u xdx t aa x + = 2 ( , ) 1 u x t dsdxdx x =+ 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律m=Fa u 方向运动的方程可以描述为方向运动的方程可以描述为 sinsinTaTagdsm+=a 且小弧段在时刻且小弧段在时刻t沿沿u方向运动的加速度近似为方向运动的加速度近似为 2 2 ( , )u x t t 小弧段质量为小弧段质量为 ds 2 2 ( , ) sinsin u x t TaTagdsds t + 2 2 (, )( , )( , )u xdx tu x tu x t Tgdxdx xxt + 2 2 (, )( , )( , )u xdx tu x tu x t Tgdxdx xxt + 由于x产生dx的变化而引起的的改变量，可 用微分近似代替，即 (),u x t x 2 2 (, )( , )( , )( , )u xdx tu x tu x tu x t dxdx xxxxx + = 2 2 (, )( , )( , )u xdx tu x tu x t Tgdxdx xxt + 22 22 ( , )( , )u x tu x t Tg dxdx xt 22 22 ( , )( , )Tu x tu x t g xt + 22 22 ( , )( , )Tu x tu x t g xt + 22 2 22 uu a tx = 2 T a = 一维波动方程 ?如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平 行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)， 显然 如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平 行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)， 显然 cos cos0TaTa= 2 2 sinsin u FdsTaTagdsds t + 22 2 22 ( , ) uu af x t tx =+ 弦的强迫振动方程 22 2 22 ( , ) uu af x t tx =+ 弦的强迫振动方程 1 ( , )( , )f x tF x t = 表示表示t时刻单位质量的弦在时刻单位质量的弦在 x点处所受的点处所受的外力密度 22 2 22 ( , ) uu af x t tx =+ 非齐次一维波动方程 22 2 22 uu a tx = 齐次一维波动方程 与未知函数与未知函数u无关的项，称为自由项无关的项，称为自由项 例二、均匀杆的纵振动方程 ?考虑一沿杆长方向作微小纵振动的均匀细杆 x 均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致临 近段的压缩或伸长，这种压缩传播开去，就形成杆的纵振 动。试推导杆的微小纵振动方程 均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致临 近段的压缩或伸长，这种压缩传播开去，就形成杆的纵振 动。试推导杆的微小纵振动方程 ?张力杨氏模量横截面积相对伸长 ?其中 ?相对伸长伸缩长度/原来的长度 ?在任意时刻t杆上任一点x处的相对伸长为 ux(x,t) 设均匀细杆长为设均匀细杆长为L，体密度为，体密度为 ，杨氏模量为，杨氏模量为Y，细 杆受到沿杆长方向的扰动（沿 ，细 杆受到沿杆长方向的扰动（沿x轴方向的振动）。 建立杆上质点位移函数 轴方向的振动）。 建立杆上质点位移函数u(x，t)的纵向振动方程。的纵向振动方程。 x 假定：（1）静止时杆位于x 轴，纵向振动 时各点的位移为u(x,t); (2) 杆的体密度为 ，S是横截面积，Young 模量为Y；(3)振动 是无限小的。 B 段的运动方程为B 段的运动方程为 ?B的伸长量（位移）为 ()(), t u xdx tu x tdu+= ?相对伸长为 ()(), t x duu xdx tu x t u u dxdxx + = ?由胡克定律，B两端的张应力分别为, xx xx dx Y uY u + ?在弹性限度内， / x F S Y u = 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 Yux(x+dx，t)ux(x，t) S = ( Sdx) utt 令令a2= Y/ 。化简，得。化简，得 utt= a2uxx ?杆的纵向受迫振动 ?F(x,t) 应理解为杆每单位长度每单位横截面 上所受的纵向外力。 二、扩散方程 热传导遵循的物理定律 （1）傅立叶实验定律：单位时间内垂直通过单位面 积 单位面 积的热量q(x,y,z,t)与温度温度u(x,y,z,t)沿曲面的法向导数 成正比 (), , , u q x y z tk n = 其中其中 k=k(x,y,z) 为物体的为物体的导热系数，当物体为均匀且各向同 性的导热体时， ，当物体为均匀且各向同 性的导热体时，k 为常数；为常数； n是曲面的单位法向矢量，它反映了热流的方向。是曲面的单位法向矢量，它反映了热流的方向。 u u n n = 单位导热面积所传导的热量 u QkS n = 单位时间内所传导的热量 常用物理规律(二) 1、热传导定律 定义热流密度： ( , ) n dQkux t dSdt= (,) n d Q qk uxt d S d t = 常用物理规律(二) 2、牛顿冷却定律 （温度高于周围环境的物体向周围媒质传递 热量逐渐冷却时所遵循的规律。） 10 () S qk uu= 单位时间内流过单位面积放出的热量为： 热传递系数周围介质的温度 1 k 0 u 当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面 积散失的热量与温度差成正比，比例系数称为热传递 系数。 常用物理规律(二) 3、热量守恒定律 Qcm T= 吸 c为物体的比热为物体的比热, m 质量质量, T 温度差温度差 例：细杆的热传导问题 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆 长方向 杆 长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 x x+dx L u(x,t) x n 温度函数u仅与空间变量x及时间t有关 在在dt时间内流入微元的热量为：时间内流入微元的热量为： 1 uu d QkA d tkA d t nx = = 在在dt时间内放出微元的热量为：时间内放出微元的热量为： 2 (,) x u d QkA d tk uxd xtA d t n = = + 在在dt时间内微元吸收的净热量为：时间内微元吸收的净热量为： 12 (, )( , ) xx dQdQdQkAdt uxdx tux t=+ x x+dx L u(x,t) x n 2 txx ua u= xxt kAu dxdtc Au dxdt= 由比热公式：由比热公式： ( ,)( , )dQcm Tc Adx u x tdtu x t=+ t c Au dxdt= 由热量守恒定律得：由热量守恒定律得： 一维齐次热传导方程 12 (, )( , ) xx dQdQdQkAdt uxdx tux t=+ txx k uu c = fua t u += 22 若物体内有热源，其强度为F(x,y,z,t),则相应的 热传导方程为 F f c = 2 t uau= 三、位势方程 稳态场方程稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是 所研究的物理量不随时间而变化。 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是 所研究的物理量不随时间而变化。 例：稳定温度分布 ?温度的空间分别将不随时间变化，即ut=0 ?稳定温度场方程为 () 2 2 1 , , ,uf x y z t a = 如果无热源，则为如果无热源，则为 2 0u=稳态场中的拉普拉斯方程. 稳态场中的泊松方程 它们又统称为位势方程，也称稳定场方程。它们又统称为位势方程，也称稳定场方程。 三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程 三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程 双曲型方程双曲型方程 波动方程为代表波动方程为代表 抛物型方程抛物型方程 热传导方程为代表