华中科技大学 硕士学位论文 异方差模型的建模研究 姓名：孟晓华 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：刘次华 20061028 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 I 摘摘 要要 在时间序列建模时, 经常会遇到异方差问题即回归误差的方差依赖于过去误差 的变化程度，随时间的变化而变化，从而表现出波动的集群性。传统分析中所使用 的模型, 如线性回归模型、ARMA 模型等都采用期望值为零, 且服从独立同方差的 假设, 不能客观和准确地描述变动的集群性和方差的时变性。而自回归条件异方差 (ARCH) 模型（Robert Engle (1982) 最早提出）因其良好的统计特性和对波动现象 的准确描述, 可适用于对经济类时间序列数据, 诸如股票价格、利率、外汇汇率等 的回归分析及预测。 但在工程应用和金融经济领域中的大量实际问题中，非线性时间序列还往往呈 现多峰，异常点，极端值等现象，这时单一的异方差模型很难给出精确的预测结果， 而混合模型则提供了一种可以近似任何分布形式的灵活，有效方法，基于此本文建 立混合异方差模型来对经济领域中出现的复杂现象进行有效地拟合。 关于异方差模型的参数估计，本文采用Bayes参数估计，模拟证明比经典的极 大似然估计方法要好。对于混合模型的参数估计，采用一些经典的方法是很难估计 的，本文先通过添加数据的方法简化混合分布，再结合Bayes参数估计的方法及EM 算法进行估计，从而改善了估计的可操作性，得到了对参数的有效估计。 本文的工作一方面是对单一的异方差 ARCH 模型采用 Bayes 参数估计的方法， 并结合 Gibbs 抽样简化模拟算法。 另一方面针对 ARCH 模型在实际建模时的不足，详细的讨论了混合 GARCH 模 型的建模和应用，并通过实际数据的模拟，对比发现所建立的混合模型比单一的异 方差模型效果要好。 本文工作的意义在于，一、讨论现有的非线性时间序列模型，并针对在实际拟 合数据时存在的不足，研究非线性混合时间序列模型。二、采用贝叶斯参数估计和 Gibbs 抽样算法改进经典参数估计。 关键词：关键词：ARCH 模型 Bayes 参数估计 MARCH 模型 Gibbs 抽样 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 II Abstract In time series modeling, we often encounter the problem that Heteroscedasticity return error variance depends on the extent of the changes in the past error, and change over time, thus demonstrating fluctuations in the grouping. The traditional model used in the analysis, linear regression model, ARMA model, adopted zero expectations, and subject to independent variance with the assumption that no objective and accurate description of the variance changes in the colonization and variability. And since the handover conditional heteroskedasticity (ARCH) model (from Robert Engle (1982) first proposed) because of a good statistical properties of volatility and accurate description applicable to the types of time series data on the economy, such as stock prices, interest rates, foreign exchange rate and so on regression analysis and forecasting. But in the application of economic and financial fields,a large number of practical problems, the nonlinear time series residual often showed two peaks and more peaks, then a single heteroscedasticity difficult to provide accurate forecasting results were mixed model provides a distribution can be approximated by any form of flexible and effective way. Heteroscedasticity on the model parameter estimation using Bayesian parameter estimation, simulation, the maximum likelihood estimation method than the classical better. For the hybrid model parameter estimation using classical methods is difficult to estimate ,the paper is to simplify the method by adding mixed data distribution, together with the Bayesian parameter estimation method and the EM algorithm for the estimation, thereby improving the operability of the estimate, the effective parameters to be estimated. This work is on the one hand for a single peak of the Heteroscedasticity ARCH model parameters using Bayesian estimation, Gibbs sampling algorithm combined with simplified simulation algorithm. ARCH models in the light of the other modeling the actual lack of a detailed 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 III discussion of the mixed GARCH modeling and application of simulation and the actual data, the hybrid model are found to have no more than a single model Heteroscedasticity better results. The significance of this paper is, first, to discuss the current nonlinear time series model, and in light of the lack of actual data fitting, nonlinear mixed-time series model. Second, the use of Bayesian parameter estimation and Gibbs sampling algorithm to improve the traditional parameter estimation. Key words: ARCH Bayesian estimation MARCH Gibbs sampling 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果.尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明.本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担. 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅. 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文. 保密，在_年解密后适用本授权书. 不保密. （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 1 1 绪论绪论 1.1 选题背景选题背景 时间序列模型往往建立在经济数据的基础之上，线性回归、自回归模型等都采 用期望值为零, 且服从独立同方差的假设，在一定程度上描述了经济数据的变化， 但在许多应用场合下, 回归误差的方差依赖于过去误差的变化程度, 随时间的变化 而变化，表现出波动的集群性，传统的模型显然不能很好的描述这些现象。对此， Engel(1982)年1第一次提出采用ARCH模型来拟合此现象，并且将之应用于美国通 货膨胀率的研究，取得了很好的拟合效果，随后围绕ARCH模型的大量实证研究也 证明异方差模型可以很好的描述这种现象。 随着异方差模型在时间序列的应用和推广，对其模型识别的要求也越来越严 格，人们开始关注如何有效地对其进行建模，参数估计。传统时间序列模型是以线 性时间序列为基础的，其相应的参数估计已建立了比较完善的理论如极大似然估 计，最小二乘估计等，而 ARCH 模型族作为非线性时间序列模型，目前在理论上还 研究不多，特别是其模型涉及更多的参数，经典的参数估计如最小二乘估计对于异 方差情形已不适用，而极大似然估计虽然易操作，但计算量又相当大，且迭代的收 敛速度相对较慢。鉴于此，本文采用 Bayes 参数估计，一方面有效地结合了参数的 先验信息，另一方面则简化了实际的计算量。 在实践中，我们往往需要模型能够更好地捕捉数据的特点，一旦模型不适应实 际数据的变化，我们就需要选择更好的模型来描述。经济数据特别是股票波动率数 据经常受突发事件或异常时间的影响，其频率直方图往往呈现多峰，异常点等复杂 现象，ARCH模型虽然有效的刻画了波动的集群性，却不能很好的模拟经济数据中 出现的现象。混合模型则是分析复杂现象的一个灵活而强有力的建模工具。在此基 础上Chun Shan Wong and Wai Keung Li于2000年提出MAR模型2，随后又提出 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 2 MARCH模型3，它不仅能够灵活地适应实际数据的变化，还将实际中经常会发生的 厚尾现象，突变，异常点现象也包括了进去。 关于混合模型的参数研究，由于其涉及的参数比较