一、复系数多项式,二、实系数多项式,1.8 复系数与实系数 多项式的因式分解,1. 代数基本定理,一、复系数多项式,若 则 在复数域,上必有一根,推论1,使,推论2,复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即,则 可约,2. 复系数多项式因式分解定理,若 则 在复数域,上可唯一分解成一次因式的乘积,推论1,推论2,若 则 在,其中 是不同的复数，,上具有标准分解式,复根（重根按重数计算）,若 ，则 有n个,二、实系数多项式,命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根,若 为根，则,两边取共轭有, 也是为 复根,证：,设,实系数多项式因式分解定理,，若 ， 则 可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积,证：对 的次数作数学归纳, 时，结论显然成立., 假设对次数n的多项式结论成立,设 ，由代数基本定理, 有一复根 ,若 为实数, 则 ，其中,若 不为实数，则 也是 的复根，于是,设 ，则,即在R上 是 一个二次不可约多项式,从而,由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次,不可约多项式的乘积,由归纳原理，定理得证,在R上具有标准分解式,推论1,其中,且 ，即 为,R上的不可约多项式.,推论2,实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二,例1 求 在 上与在 上的标准分解式.,1) 在复数范围内 有n个复根，,次不可约多项式，所有次数3的多项式皆可约.,解：,2) 在实数域范围内,这里, 当n为奇数时,当n为偶数时,