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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 必修5,数列,第二章,2.2 等差数列,第二章,第1课时 等差数列的概念与通项公式,1理解等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式 2会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题 3掌握等差中项的概念,并能运用,按一定顺序排列的一列数叫做数列,项an与项数n,项与项,1观察下列各组数据: (1)有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位:cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128,320. (2)鞋的尺码,按照国家规定,有:22,22.5,23,23.5,24, 24.5, (3)奥运会每4年举行一届,2008年在北京举行,此后的奥运会举办年份依次为:2012,2016,2020,.,思考:(1)它们构成数列吗? (2)这些数列的项有何特点? 算一算从第2项起每项与它的前一项的差,你发现了什么? (3)从这些数列中任取一项,如果它既有前项又有后项,算一算它与前后项之间具有什么关系? (4)你能用一个递推关系式来表示它们吗?,2等差数列的定义是怎样的?对于等差数列定义的理解应注意什么? 定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示若公差d0,则这个数列为常数列,(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项 (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差” (3)“同一个常数d”,d是等差数列的公差,即danan1,d可以为零,当d0时,等差数列为常数列,也就是说,常数列是特殊的等差数列 (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据,即an1and(常数)(nN*)an是等差数列,答案 D,等差数列an中,a35,a713,求通项公式an.,注意:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2anan1an1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2ananmanm(m、nN*,mn),已知:1,x,y,10构成等差数列,则x、y的值分别为_ 答案 4,7 解析 由已知,x是1和y的等差中项,即2x1y, y是x和10的等差中项,即2y2x10 由、可解得x4,y7.,判断下列数列是否为等差数列 (1)an32n;(2)ann2n. 分析 本题考察判断数列是否是等差数列,即判断an1an(nN*)是否为同一个常数,等差数列的判断与证明,解析 (1)an1an32(n1)(32n)2,是常数, 数列an是等差数列 (2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n,不是常数, 数列an不是等差数列,方法规律总结 定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法,其步骤为: (1)作差an1an; (2)对差式进行变形; (3)当an1an是一个与n无关的常数时,数列an是等差数列;当an1an不是常数,是与n有关的代数式时,数列an不是等差数列,已知数列的通项公式为an6n1,问这个数列是等差数列吗?若是等差数列,其首项与公差分别是多少? 解析 an1an6(n1)1(6n1)6(常数), an是等差数列,其首项a16115,公差为6.,分析 由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明,等差数列的证明,在等差数列an中: (1)已知a51,a82,求a1与d; (2)已知a1a612,a47,求a9. 分析 根据等差数列的通项公式ana1(n1)d,由条件可建立关于a1、d的二元一次方程组解出a1、d.,等差数列的通项公式,(1)求等差数列10,8,6,的第20项 (2)100是不是等差数列2,9,16,的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由 解析 (1)a110,d8102, an10(n1)(2)2n12, a202201228. (2)a12,d927, an2(n1)77n5, 由7n5100,得n15. 100是这个数列的第15项,分析 可用列举观察法求解;也可用变形构造法求解,构造解题法,答案 A,莫弄混项数与序号 已知数列an,bn均为等差数列,且an为2,5,8,bn为1,5,9,它们的项数均为40,则它们有多少个彼此具有相同数值的项? 错解 由已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为:an3n1,bn4n3(1n40,且nN*) 令anbn,得3n14n3,n2. 两数列只有第2项数值彼此相同 辨析 本题所说的数值相同的项,在各自数列中的序号不一定相同,只是在这两个数列中找数值相同的项,已知数列an中,a11,a22,2an12an3(n2,nN*),判断an是否是等差数列,等差数列,
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