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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 选修2-3,概率,第二章,2.3 随机变量的数字特征,第二章,第1课时 离散型随机变量的数学期望,某书店订购一新版图书,根据以往经验预测,这种新书的销售量为40,100,120本的概率分别为0.2,0.7,0.1,这种书每本的进价为6元销售价为8元,如果售不出去,以后处理剩余书每本为5元 为盈得最大利润,书店应订购多少本新书?,找出随机变量的所有可能的取值xi(i1,2,n),求出取每一个值的概率P(xi)pi,列出表格,1,一、离散型随机变量的数学期望 一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,xn,这些值对应的概率是p1,p2,pn,则称E(X)x1p1x2p2xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)它反映了离散型随机变量的平均取值水平 在理解离散型随机变量的数学期望的概念时注意以下三点: (1)数学期望(均值)的含义:数学期望(均值)是离散型随机变量的一个特征数,反映了离散型随机变量取值的平均水平,(2)数学期望(均值)的来源:数学期望(均值)不是通过一次或几次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值 (3)数学期望(均值)与平均数的区别:数学期望(均值)是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数,二 离散型随机变量数学期望的性质 若YaXb,其中a,b是常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且有E(aXb)aE(X)b. 当b0时,E(aX)aE(X),此式表明常量与随机变量乘积的数学期望,等于这个常量与随机变量的期望的乘积; 当a1时,E(Xb)E(X)b,此式表明随机变量与常量和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和; 当a0时,E(b)b,此式表明常量的期望等于这个常量,若X是一个随机变量,则E(XE(X)的值为( ) A无法求 B0 CE(X) D2E(X) 答案 B,某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( ) A100 B200 C300 D400 答案 B,四、求离散型随机变量数学期望的方法 (1)求离散型随机变量数学期望的关键在于写出它的分布列,再代入公式E(X)x1p1x2p2xnpn. (2)从离散型随机变量数学期望的概念可以看出,要求期望,必须求出相应取值及概率,列出分布列,再代入公式计算这就要求全面分析各个随机变量所包含的各种事件,并准确判断各事件的相互关系,再由此求出各离散型随机变量相应的概率,(3)利用定义求离散型随机变量X的数学期望的步骤: 理解随机变量X的意义,写出X可能取的全部值;求X取每个值的概率;写出X的分布列;由数学期望的定义求出E(X) (4)如果随机变量服从二点分布、二项分布或超几何分布,可直接代入公式求数学期望,某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望,在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望 分析 明确随机变量X的取值,计算每个取值的概率,然后列其分布列,最后计算E(X),数学期望的求法,在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某篮球运动员罚球的命中率为0.7,那么他罚球1次得分X的期望是多少? 分析 首先写出X的分布列,罚球一次可能命中,也可能不中,故服从两点分布 解析 X的分布列为:P(X1)0.7,P(X0)0.3,E(X)10.700.30.7. 方法总结 明确了是两点分布后只要找出成功概率即可,两点分布的期望,答案 A,设某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在他连续射击6次,求击中目标次数的期望 分析 这是一个独立重复试验问题,其击中目标的次数的概率分布属于二项分布,可直接由二项分布的期望得出,二项分布的期望,答案 C,离散型随机变量的均值的性质,方法总结 求期望的关键是求出分布列,只要随机变量的分布列求出,就可以套用期望的公式求解对于aXb型随机变量的期望,可以利用期望的性质求解,当然也可以先求出aXb的分布列,再用定义求解,对随机变量,若E()3,求E(32) 错解 E(32)3E()9. 辨析 E(ab)aE()b. 正解 E(32)3E()29211.,
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