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八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括:确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点,求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P,使PA+PB值最小连AB,与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P,使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B,与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为A B【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N,使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P,连PP,与两直线交点即为M,N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理在直线、上分别求点M、N,使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP,与两直线交点即为M,N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线,在、,上分别求点M、N,使MN,且AM+MN+BN的值最小将点A向下平移MN的长度单位得A,连AB,交于点N,过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N(M在左),使,并使AM+MN+NB的值最小将点A向右平移个长度单位得A,作A关于的对称点A, 连AB,交直线于点N,将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题7】作法图形原理在上求点A,在上求点B,使PA+AB值最小作点P关于的对称点P,作PB于B,交于A点到直线,垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长【问题8】作法图形原理A为上一定点,B为上一定点,在上求点M,在上求点N,使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A,作点B关于的对称点B,连AB交于M,交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最小连AB,作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最大作直线AB,与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB的最大值AB【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B,与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB最大值AB【问题12】“费马点”作法图形原理ABC中每一内角都小于120,在ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小所求点为“费马点”,即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE,连CD、BE相交于P,点P即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC最小值CD【精品练习】ADEPBC1如图所示,正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为( ) A B C3 D2如图,在边长为2的菱形ABCD中,ABC60,若将ACD绕点A旋转,当AC、AD分别与BC、CD交于点E、F,则CEF的周长的最小值为( )A2BCD43四边形ABCD中,BD90,C70,在BC、CD上分别找一点M、N,使AMN的周长最小时,AMN+ANM的度数为( )A120 B130 C110 D1404如图,在锐角ABC中,AB4,BAC45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是 5如图,RtABC中,C90,B30,AB6,点E在AB边上,点D在BC边上(不与点B、C重合),且EDAE,则线段AE的取值范围是 6如图,AOB30,点M、N分别在边OA、OB上,且OM1,ON3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MPPQQN的最小值是_(注“勾股定理”:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即RtABC中,C90,则有)7如图,三角形ABC中,OABAOB15,点B在x轴的正半轴,坐标为B(,0)OC平分AOB,点M在OC的延长线上,点N为边OA上的点,则MAMN的最小值是_8已知A(2,4)、B(4,2)C在轴上,D在轴上,则四边形ABCD的周长最小值为 ,此时 C、D两点的坐标分别为 9已知A(1,1)、B(4,2)(1)P为轴上一动点,求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;(2)P为轴上一动点,求的值最大时P点的坐标;(3)CD为轴上一条动线段,D在C点右边且CD1,求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10点C为AOB内一点(1)在OA求作点D,OB上求作点E,使CDE的周长最小,请画出图形; (2)在(1)的条件下,若AOB30,OC10,求CDE周长的最小值和此时DCE的度数11(1)如图,ABD和ACE均为等边三角形,BE、CE交于F,连AF,求证:AF+BF+CFCD;(2)在ABC中,ABC30,AB6,BC8,A,C均小于120,求作一点P,使PA+PB+PC的值最小,试求出最小值并说明理由 12荆州护城河在CC处直角转弯,河宽相等,从A处到达B处,需经过两座桥DD、EE,护城河及两桥都是东西、南北方向,桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置,可使A到B点路径最短?- 7 -
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