第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)直线与平面垂直 定义:直线l与平面内的_一条直线都垂直,就说直线l与平面 互相垂直.,任意,判定定理与性质定理:,相交,l,a,b,ab=O,la,lb,ab,平行,a,b,(2)直线和平面所成的角 定义:平面的一条斜线和_所成的_叫做这条 直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是 _;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是_. 范围:_.,它在平面上的射影,锐角,直角,0的角,(3)平面与平面垂直 二面角的有关概念: ()二面角:从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角; ()二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个 半平面内分别作_的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二 面角的平面角. 平面和平面垂直的定义: 两个平面相交,如果所成的二面角是_,就说这两个平面互相 垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,平面与平面垂直的判定定理与性质定理:,l,垂线,交线,l,l,l,=a,la,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的方法,求线面角,二面角的方法. (2)数学思想:数形结合思想,转化与化归思想.,(3)记忆口诀: 判断线面的垂直,线垂面中两交线; 两线垂直同一面,两线平行共伸展; 两面垂直同一线,一面平行另一面; 要让面面相垂直,面过另面一垂线; 面面垂直成直角,线面垂直记心间.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (2)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.( ) (3)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.( ) (4)二面角是指两个相交平面构成的图形.( ) (5)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ),【解析】(1)错误.两个平面也可能相交.(2)错误.两条直线也可能异面或相交.(3)错误.与不一定垂直.(4)错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. (5)错误.若平面平面,则平面内的直线l与可平行,可相交,也可在平面内. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修2P73练习T1改编)下列命题中不正确的是( ) A.如果平面平面,且直线l平面,则直线l平面 B.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面,平面平面,=l,那么l.,【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行平面,也可能在平面内.,(2)(必修2P73习题A组T3改编)如图,在三棱锥V-ABC中,VAB=VAC= ABC=90,则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为 .,【解析】 所以有4个直角三角形. 答案:4,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是( ) A.若m,n,则mn B.若m,n,则mn C.若m,mn,则n D.若m,mn,则n,【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直线AA1,AB1相交,故选项A错误;根据线面垂直的定义,一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平面内的任一条直线,可见选项B正确;直线AA1平面ABCD,AA1BC,但直线BC平面ABCD,故选项C错误;直线AA1平面CC1D1D,AA1CD,但直线CD平面CC1D1D,故选项D错误.,(2)(2013新课标全国卷)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则( ) A.且l B.且l C.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l,【解析】选D.因为m,n为异面直线,m平面,n平面. 所以,相交(否则m,n为平行直线). 设=l, 则lm,ln, 过空间一点P作mm,nn. 则m,n可确定平面. 由题意知:l,l. 所以ll.,(3)(2015济南模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABCDEF.则下列结论不正确的是( ) A.CD平面PAF B.DF平面PAF C.CF平面PAB D.CF平面PAD,【解析】选D.A中,因为CDAF,AF平面PAF,CD平面PAF,所以CD平面PAF成立; B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DFAF. 又因为PA平面ABCDEF,所以PADF,又因为PAAF=A,所以DF平面PAF成立; C中,因为CFAB,AB平面PAB,CF平面PAB, 所以CF平面PAB; 而D中CF与AD不垂直,故选D.,考点1 与线、面垂直关系有关命题真假的判断 【典例1】(1)(2014浙江高考)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面( ) A.若mn,n,则m B.若m,则m C.若m,n,n,则m D.若mn,n,则m,(2)(2015济南模拟)已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是( ) A.l,m,且lm B.l,m,n,且lm,ln C.m,n,mn,且lm D.l,lm,且m,【解题提示】(1)依据线面平行、垂直的判定与性质逐一判断. (2)逐个验证选项中的条件能否推得. 【规范解答】(1)选C.对A若mn,n,则m或m或m,故A 选项错误;对B若m,则m或m或m,故B选项错误; 对C若m,n,n,则m,故C选项正确;对D若mn,n, ,则m或m或m,故D选项错误.,(2)选D.对于A,若l,m,且lm.如图(1)所示虽满足条件,但与不垂直. 对于B,当mn时,也得不到平面与平面垂直. 对于C,如图(2)所示条件满足但平面与平面不垂直. 对于D,由lm,m得l,又l,因此有.,【规律方法】与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图在头脑中形成印象来判断. (2)寻找反例,只要存在反例,那么结论就不正确. (3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.,【变式训练】(2015合肥模拟)已知不同的直线l,m,不同的平面,下列命题中:若,l,则l;若,l,则l;若l,m,则lm;若,=l,ml,则m.真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】选C.两平面平行,则平面内任何一条直线必平行于另一个平面,故是真命题;两平面平行,若一条直线垂直于其中一个平面,则必垂直于另一个平面,故是真命题;对于,直线l也有可能与直线m异面,故是错误的;对于,若直线m不在平面内,则不成立,故是错误的.所以真命题有2个.,【加固训练】1.(2014衡水模拟)设l是直线,是两个不同的平面( ) A.若l,l,则 B.若l,l,则 C.若,l,则l D.若,l,则l,【解析】选B.对于A,若l,l,则,可能相交;对于B,若l,则平面内必存在一直线m与l平行,则m,又m,故.选项C,l可能平行于或l在平面内;选项D,l还可能平行于或在平面内.,2.(2015长沙模拟)设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是( ) A.ac,bc B.,a,b C.a,b D.a,b 【解析】选C.对于选项C,在平面内存在mb,因为a,所以am,故ab;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出ab.,考点2 线面垂直的判定与性质 知考情 直线与平面垂直的判定与应用是高考考查垂直关系的一个重要考向.常与线线垂直、面面垂直及平行关系综合出现在解答题中,考查线面垂直的判定定理及其性质.,明角度 命题角度1:证明直线与平面垂直 【典例2】(2014福建高考)如图,在三棱锥A-BCD中, AB平面BCD,CDBD. (1)求证:CD平面ABD. (2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.,【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明.(2)分别求出ABM的面积和高CD,继而求出体积.或利用VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD求解.,【规范解答】(1)因为AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.又因为CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,所以CD平面ABD. (2)由AB平面BCD,得ABBD,因为AB=BD=1,所以SABD= . 因为M是AD的中点,所以SABM= SABD= .由(1)知,CD平面ABD,所以 三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM= SABMh= .,【一题多解】解答本题(2)你还知道什么方法? 解答本题(2)还有以下方法: (2)由AB平面BCD知,平面ABD平面BCD, 又平面ABD平面BCD=BD, 如图,过点M作MNBD交BD于点N, 则MN平面BCD, 且MN= AB= ,又CDBD,BD=CD=1, 所以SBCD= . 所以三棱锥A-MBC的体积 VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD = ABSBCD- MNSBCD= .,命题角度2:利用直线垂直平面的性质证明线线垂直 【典例3】(2015临沂模拟)如图所示,已知AB为圆O 的直径,点D为线段AB上一点,且AD= DB,点C为圆O上 一点,且BC= AC,PD平面ABC,PD=DB. 求证:PACD. (本例源于教材必修2P69例3),【解题提示】只需证明直线CD垂直于PA所在的平面PAB即可. 【规范解答】因为AB为圆O的直径,所以ACCB,在RtABC中,由 AC =BC得,ABC=30,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=2 ,由余弦定理得 CD2=DB2+BC2-2DBBCcos30=3, 所以CD2+DB2=BC2,即CDAO. 因为PD平面ABC,CD平面ABC, 所以PDCD,由PDAO=D得,CD平面PAB,又PA平面PAB,所以PACD.,【互动探究】在本例的条件下,过点D作DEPB,垂足为E,连接CE,求证:CEPB. 【证明】由本例解析知CD平面PAB,又PB平面PAB,所以CDPB,又DECD=D,所以PB平面CDE,又CE平面CDE,所以CEPB.,悟技法