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第二章 函数概念与基本初等函数 I,2.4 二次函数与幂函数,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)_. 顶点式:f(x)_. 零点式:f(x) . (2)二次函数的图象和性质,ax2bxc(a0),a(xm)2n(a0),a(xx1)(xx2)(a0),知识梳理,1,答案,答案,2.幂函数 (1)定义:形如 的函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数. (2)幂函数的图象比较,yx,答案,(3)幂函数的性质 幂函数在(0,)上都有定义; 幂函数的图象过定点(1,1); 当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,)上单调递增; 当0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,)上单调递减.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc,xa,b的最值一定是 .( ) (2)二次函数yax2bxc,xR,不可能是偶函数.( ) (3)在yax2bxc(a0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (4)函数 是幂函数.( ) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( ) (6)当n0时,幂函数yxn是定义域上的减函数.( ),答案,思考辨析,即m21, 解得m1.,(,1)(1,),考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方,则a的取值范围是_.,解析答案,1,2,3,4,5,3.函数 的图象是_.(填序号),解析 显然f(x)f(x),说明函数是奇函数, 同时由当0x1时, 当x1时, 故只有符合.,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知函数yx22x3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为_. 解析 如图,由图象可知m的取值范围是1,2.,1,2,解析答案,1,2,3,4,5,(0,),答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,题型一 求二次函数的解析式,例1 已知二次函数f(x)满足f(2)1,f(1)1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.,解析答案,思维升华,解 方法一 (利用一般式): 设f(x)ax2bxc(a0).,所求二次函数为f(x)4x24x7.,解析答案,思维升华,方法二 (利用顶点式): 设f(x)a(xm)2n. f(2)f(1),,n8,,解析答案,f(2)1,,思维升华,方法三 (利用零点式): 由已知f(x)10的两根为x12,x21, 故可设f(x)1a(x2)(x1), 即f(x)ax2ax2a1.,解得a4, 所求函数的解析式为f(x)4x24x7.,思维升华,思维升华,求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式,所用所给出的条件,根据二次函数的性质进行求解.,(1)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x2,最小值为1,则它的解析式是_. 解析 依题意可设f(x)a(x2)21, 又其图象过点(0,1), 4a11,,跟踪训练1,解析答案,(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a,bR)是偶函数,且它的值域为(,4,则该函数的解析式f(x)_. 解析 由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称, b2, f(x)2x22a2, 又f(x)的值域为(,4, 2a24, 故f(x)2x24.,2x24,解析答案,题型二 二次函数的图象与性质,命题点1 二次函数的单调性,例2 已知函数f(x)x22ax3,x4,6, (1)求实数a的取值范围,使yf(x)在区间4,6上是单调函数;,要使f(x)在4,6上为单调函数, 只需a4或a6, 解得a4或a6. 故a的取值范围是(,64,).,解析答案,(2)当a1时,求f(|x|)的单调区间.,其图象如图所示. 又x4,6, f(|x|)在区间4,1)和0,1)上为减函数, 在区间1,0)和1,6上为增函数.,解析答案,命题点2 二次函数的最值,例3 已知函数f(x)x22x,若x2,3,则函数f(x)的最大值为_. 解析 f(x)(x1)21, 2x3(如图),,f(x)maxf(2)8.,8,解析答案,已知函数f(x)x22x,若x2,a,求f(x)的最小值.,引申探究,解析答案,解 函数yx22x(x1)21, 对称轴为直线x1, x1不一定在区间2,a内, 应进行讨论,当21时,函数在2,1上单调递减,在1,a上单调递增, 则当x1时,y取得最小值,即ymin1. 综上,当21时,ymin1.,命题点3 二次函数中的恒成立问题,例4 (1)设函数f(x)ax22x2,对于满足10,则实数a的取值范围为_.,解析答案,(2)已知a是实数,函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零,则实数a的取值范围为_.,解析 2ax22x30在1,1上恒成立. 当x0时,适合;,解析答案,思维升华,思维升华,1.二次函数最值问题解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.,若二次函数f(x)ax2bxc (a0),满足f(x2)f(x)16x且f(0)2. (1)求函数f(x)的解析式; 解 由f(0)2,得c2, 所以f(x)ax2bx2 (a0), f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2ax2bx24ax4a2b. 因为f(x2)f(x)16x,所以4ax4a2b16x, 解得a4,b8. 所以f(x)4x28x2.,跟踪训练2,解析答案,(2)若存在x1,2,使不等式f(x)2xm成立,求实数m的取值范围. 解 由f(x)2xm, 可得mf(x)2x4x210x2, 设g(x)4x210x2,x1,2. 则g(x)maxg(2)2,m2. 故实数m的取值范围是(,2).,解析答案,题型三 幂函数的图象和性质,解析 由幂函数的定义知k1.,解析答案,(2)若 则实数m的取值范围是_.,解析答案,思维升华,解2m1m2m1,得1m2,,解析 因为函数 的定义域为0,),且在定义域内为增函数,,思维升华,思维升华,(1)幂函数的形式是yx(R),其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.,(1)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3),则f(2)f(1)_. 解析 设幂函数为f(x)x, 则f(9)93, 即323, 所以21, , 即f(x),跟踪训练3,解析答案,(2)若 则实数a的取值范围是_.,解析 易知函数 的定义域为0,),在定义域内为增函数,,解析答案,返回,思想与方法系列,典例 (14分)已知f(x)ax22x(0x1),求f(x)的最小值. 思维点拨 参数a的值确定f(x)图象的形状;a0时,函数f(x)的图象为抛物线,还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系.,思想与方法系列,3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,规范解答 解 (1)当a0时,f(x)2x在0,1上递减, f(x)minf(1)2. 3分,解析答案,温馨提醒,(2)当a0时,f(x)ax22x图象的开口方向向上,,f(x)在0,1上递减. f(x)minf(1)a2. 10分,解析答案,温馨提醒,(3)当a0时,f(x)ax22x的图象的开口方向向下,,f(x)ax22x在0,1上递减. f(x)minf(1)a2. 13分,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)本题在求二次函数最值时,用到了分类讨论思想,求解中既对系数a的符号进行讨论,又对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则的分类讨论. (2)在有关二次函数最值的求解中,若轴定区间动,仍应对区间进行分类讨论.,思想方法 感悟提高,1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点式. (3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f(x)更方便. 2.研究二次函数的性质要注意: (1)结合图象分析; (2)含参数的二次函数,要进行分类讨论.,方法与技巧,3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.,方法与技巧,1.对于函数yax2bxc,要认为它是二次函数,就必须满足a0,当题目条件中未说明a0时,就要讨论a0和a0两种情况. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.如果函数f(x)x2ax3在区间(,4上单调递减,则实数a的范围是_.,8,),解析答案,2.函数f(x)(m2m1)xm是幂函数,且在x(0,)上为增函数,则实数m的值是_. 解析 f(x)(m2m1)xm是幂函数m2m11m1或m2. 又在x(0,)上是增函数, 所以m2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.设函数f(x)x2xa(a0),且f(m)0,则f(m1)_0(判断大小关系).,
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