3-3 相平面法,相平面法是基于时域的一种图解分析方法。是状态空间法在二维情况下的应用。,二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)一般可用常微分方程 来描述。 式中，设输入信号为零， 表示系统中的某一个物理量， 是 和 的解析函数。,控制系统的任一动态过程可由状态变量 来表示。,一、相平面的基本概念,1.相平面:以 和 为横轴和纵轴构成的坐标平面.,2.相点:相平面上任一点,3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发，以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。,4.相轨迹特点: 与初始点(状态)密切相关. 可以不直接求出微分方程而获得系统所有运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性,二、相平面图绘制方法,1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.,设二阶系统,(*),若令,则,直接积分,便解出相轨迹方程,并由此画出相轨迹。,整理上式并积分,其中,上式表示一族封闭椭圆，说明:=0时的状态为临界稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。,例：如无阻尼二阶系统,令 则,，设初始条件为,等倾线方程,满足相轨迹上的切线斜率为a,画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可证明不同a不相交，则对确定初始点 沿等斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹（近似）,画图步骤：,ii.作等倾线分布图,iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的,平均斜率依次作短直线便可画得。,i.求出等倾线方程,相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。,说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。,例如,令,等斜线方程:,等斜线分布图. 相轨迹 A点,直线段交 = 1.2线于B.,1,三.相轨迹和相平面图的性质 1)相轨迹的斜率 若相轨迹上任意一点的斜率为 ，则,2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大小相等，符号相同。,a,则相轨迹关于 对称(左右对称)。,则相轨迹关于 对称(上下对称) 。,则相轨迹关于原点对称。,的点称为奇点。 设二阶系统 的平衡点在原点，即f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设 在原点附近展成台劳级数,3)相平面图的奇点,奇点：相平面上同时满足,高阶无穷小量 可以省略，得到 则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面 上的位置。设特征根为 ，根据 在复平面 的位置，可以有以下几种情况：,一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的奇点称为稳定焦点。,一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳定焦点。,特征根为两个负 实根 对应的相轨迹以非震荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。,特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不稳定节点。,特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这种奇点称为中心点。,特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称为鞍点。,在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。,极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无限地趋向或者离开它。,极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点，也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。,4）极限环,如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环，如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能回到极限环上。,因此，稳定的极限环上系统就表现为自激振荡。极限环横向与纵向的最大值分别对应自激振荡的振幅与最大变化率。,稳定的极限环,如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到极限环上来，因此称为不稳定的极限环。,不稳定的极限环,半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。,对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。,5）由相轨迹求时间增量,当相轨迹在 x 方向移动一个增量 时，如果在 区间 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 的平均值 近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增量 。,三线性系统的相平面分析,一阶线性系统自由运动微分方程为 相轨迹方程为 设系统初始条件为 ，则 相轨迹图下图所示,二阶线性系统自由运动微分方程为 当b0 时，上述方程可表示为 特征根为 相轨迹微分方程为,令 得到等倾线方程,当a2-4b0，且b0时，可得满足 k=a 的两条特殊 的等倾线，其斜率为,该式表明，特殊的等倾线斜率等于位于该等倾线上 相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊 的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不会,脱离该等倾线。下面就线性二阶微分方程 参数 b0 的三种不同情况具体 讨论，其相轨迹采用等倾线法或解析法绘制。 b0。 系统特征根,s1，s2为符号相反的互异实根，相平面图如下。,由图可知，图中两条特殊 的等倾线是相轨迹，也是 其他相轨迹的渐近线。 当初始条件位于 对应的相轨迹上时，系统 的运动将趋于原点，但 只要受到微小扰动，运动 将偏离该轨迹，并沿着 相轨迹方向发散。 因此b0时，系统是不稳 定的。, b=0。 系统特征根s1=0，s2= -a 相轨迹方程为 两边积分可得相轨迹方程 相平面图如下所示，相轨迹为过初始点 斜率为-a的直线。当a0时，相轨迹收敛 并最终停止在 c 轴上；a0时，相轨迹发散。, b0。由前面可知当b0时，方程可以表示 为 可得 根据 的选取，可以分为以下几种情况：,设 系统微分方程为 特征根为两个具有负实部的共轭复根，系统 稳定，过渡过程呈衰减震荡形式。,其等倾线方程为,特征根为两个不相等的负实根， 系统的零输入响应为非震荡衰减形式，存在两条 特殊的等倾线，其斜率为,相平面图如下图所示。当相轨迹初始点落在两条特 殊等倾线上时，相轨迹沿该直线趋于原点；除此之 外，相轨迹最终将沿着 的方向趋于原 点。,系统特征根为两个相等的负实根。取 其相平面图如下。与 相比，相轨迹的特殊 等倾线蜕化为一条。,系统微分方程为 特征根为两个共轭虚根 ，系统临界稳定， 过渡过程为等幅震荡。改写系统方程为 积分后得到相轨迹方程为,设 系统微分方程为 特征根为两个具有正实部的共轭复根，系统 不稳定，过渡过程震荡发散。等倾线为,设 系统微分方程为 特征根为两个不相等的正实根，系统不稳定， 过渡过程为非周期发散。等倾线方程为,系统特征根为两个相同的正实根，存在一条特殊的 等倾线，系统相轨迹发散，相平面图如下图所示。,1）分段列写非线性系统微分方程 2）在相平面上确定每一个微分方程所在区域及开关线。 3）按照线性系统相轨迹的作法，分段求解相轨迹方程。 4）在开关线上做好两条相轨迹的链接。注意，下一条相轨迹的初始条件是上一条相轨迹的终止条件。,四非线性系统的相平面分析,一般非线性系统利用分段线性微分方程来描述。,(1) 具有死区特性的非线性控制系统,取 作为状态变量，,因为 ，,给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相 轨迹分析结果，可得奇点类型 区域 I：奇点(-，0)为稳定焦点，相轨迹为向心 螺旋线( ); 区域 II：奇点(x，0)，x(-, )为稳定焦点， 相轨迹沿直线收敛； 区域 I：奇点(，0)为稳定焦点，相轨迹为向心 螺旋线( ); 由零初始条件 和 得到e(0)=R, 。相轨迹如下图所示：,若用比例环节 k =1 代替 死区特性，即无死区影 响时，线性二阶系统相 轨迹如图中虚线所示。 可以比较出死区特性对 系统运动的影响。,(2) 具有饱和特性的非线性控制系统,图中系统初始状态为零，且,下面分别研究系统在 r (t)=R1(t) 和 r (t)=V0 t 作用下的相轨迹。,1） r (t)=R1(t) 。,A 为常数,相轨迹方程为,等倾线方程为 为一簇平行于横轴的直线，其斜率 k 为零。当a=0 得 ，即为特殊的等倾线(k=a=0)。 对于线性区域的奇点，求得为原点，且其特征根 为负实部共轭复根，所以奇点是稳定焦点。由初始条件可知，e(0)=R， 。取R=2，绘制相轨迹如图所示。,2） r (t)=V0(t) 。,在线性区间，奇点 为稳定能够的焦点。 负饱和区和正饱和区内渐近线分别为,当V0=1.2 KM0 时，线性区内相轨迹奇点(0.3,0) 为稳定焦点，且为虚奇点；饱和区内渐近线都位于相平面的上半平面，相轨迹如下图所示 。,当V0=0.4 KM0 时，线性区内相轨迹奇点(0.1,0) 为稳定焦点，且为实奇点；渐近线分别位于相平面的上下半平面，相轨迹收敛于(0.1,0)，系统地稳态误差为0.1，相轨迹如下图所示 。,当V0=0.8= KM0 时，线性区内相轨迹奇点(0.2,0) 为稳定焦点，为实奇点，位于开关线 e=e0 上；正饱和区的线性微分方程为 该区域内相轨迹是斜率为 -1/T 的直线，横轴上大于 e0 的各个点都是奇点，所以系统存在问题误差。,小结,本章介绍了非线性系统的两种设计方法：描述函数法、相平面法。它们都是用工程作图的方法分析解决问题。 描述函数法把非线性特性基波传递关系做为它的替代公式，所以只适用于非线性程度较低和特性对称的非线性元件，还要求线性部分具有良好的低通滤波器特性。描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性。由于描述函数是系统运动状态做周期运动的描述，一般没有考虑外界作用。所以用于分析稳定性和自持振荡，而不能得到系统的响应。,3-4 Popov 法,Popov法是一个关于单回路非线性控制系统渐进稳定充分条件的频率域判据。 系统由定常线性部件和一个定常非线性部件组成的单回路反馈系统。 可以应用于高阶系统，比相平面法优越。 是准确判定稳定性的方法，比描述函书法优越。 可见， Popov法有很大的优势，而且计算简单，适于工程应用，但是应用Popov法要满足如下条件：,Popov法适用于上图所示的单回路反馈控制系统，定常非线性部件的非线性特性函数可具有任意形式，但应满足条件 式中的k是任意正数，也允许为无穷大。,Popov定理 如果定常线性部件G(s)的全部极点均具有负的实部，即线性部件是渐进稳定的，则使非线性控制系统大范围渐进稳定的充分条件是，存在某个有限的数q，使得线性部件的频率特性G(j)和非线性部件的限制比值k一起满足 在G(j)的复数平面上，过(-1/k ,0)点而斜率为1/(q)的直线称为Popov线。上面的不等式说明： G(j)的频率特性曲线在任何频率下都位于Popov线的右侧。,修正频率特性,则,上面的不等式化为,在