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第四章 因式分解,回顾与思考,因式分解,方法,提公因式法,公式法,整式乘法,互为逆运算,平方差公式,完全平方公式,本章知识结构,定义,一般地,把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式,称为把这个多项式因式分解,有时我们也把这一过程叫做分解因式。,要求: 1.变形对象:是 ; 2.变形过程:由 变成 的形式 3.变形的结果:是几个 的积 4.分解结果中的每个因式不能再分,回顾旧知,多项式,和,积,整式,只有多项式才可能进行因式分解,1、确定公因式的方法:,小结与反思,2、提公因式法分解因式:,第一步,找出公因式; 第二步,提公因式( 把多项式化为两个因式的乘积),1)定系数 2)定字母 3)定指数,规律:,1、两个多项式的各项都互为相反数,则这两个多项式也互为相反数。,如:(1) a-b 与 b-a 互为相反数.,(2) a+b 与 -a-b 互为相反数.,2、互为相反数的项,它们的偶次幂相等,奇次幂互为相反数。即若,(3) a-b+c 与 ( ) 互为相反数.,-a+b-c,3、两个多项式的各项都相同时,则这两个多项式也相等。,如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a,a-b,b-a,-( ),=,a+b,-a-b,-( ),=,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法。,公式法的概念,平方差公式,完全平方公式,观察多项式x2-25,9x2-y2,完成以下探究问题,并与同伴交流,1两个多项式的共同特征: 多项式都只有 项,项的符号 ,每一项都可以写成 的形式,x2-25= 2 - 2 = ( )( );,9x2-y2= 2 - 2 =( )( ) ,探究学习:,两,平方,相反,2尝试将x2-25,9x2-y2写成两个因式的乘积:,x,3x,依据是: ,a2-b2=(a+b)(a-b),5,x+5,x-5,y,3x+y,3x-y,( ),完全平方式的特点:,1、必须是三项式,2、有两个平方的“项”,3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍,知识点一:对因式分解概念的理解,例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为( )。 A. B. C. D.,B,知识点二:利用提公因式法分解因式,例2.把下列各式分解因式 解:原式,公因式既可以是单项式,也可以是多项式,需要整体把握。,例3.把下列各式分解因式 解:原式 解:原式,知识点三:利用公式法分解因式, 解:原式 解:原式,小试牛刀,练一练:把下列各式分解因式 解:原式 解:原式,总结,当多项式形式上是二项式时,应考虑用平方差公式,当多项式形式上是三项式时,应考虑用完全平方公式。,例4.把下列各式分解因式 解:原式 解:原式,知识点四:综合运用多种方法分解因式, 解:原式 解:原式,先观察是否有公因式,若有公因式提出后看是否具有平方差公式或完全平方公式特征,若有使用公式法;若都没有,则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。,知识点五:运用分解因式进行计算和求值,例5.利用分解因式计算 解:原式, 解:原式 解:原式,例6.已知 ,求 的值。 解:,例7.已知 ,求 的值。 解:,知识点六:分解因式的实际应用,例9.如图,在一个半径为R的圆形钢板上,机械加工时冲去半径为r的四个小圆 (1)用代数式表示剩余部分的面积; (2)用简便方法计算:当R=7.5,r=1.25时,剩余部分的面积,(2)当R=7.5,r=1.25时, S=R2 4r2 =(R+2r)(R 2r) =(7.5+21.25)(7.5 21.25) =105=50,解:(1)S=R2 4r2,作业,完成书上习题,
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