习题1解答（A组题）一、选择题1、C；2、A；3、D；4、C；5、C；6、A；7、A；8、B；9、D；10、C二、判断题1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、； 10、三、填空题1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、9、设有两个集合和，若，则。四、证明题1、（1）；（2） 。2、。同理可证第2个集合等式。3、当时，张成的环和-环均为它自身；张成的代数和-代数均为。当时，张成的环、-环、代数和-代数均为。当为的非空真子集时，张成的环和-环均为；张成的代数和-代数均为。4、首先，令，由于是上的严格单调递减的连续函数，且，所以是到的一一映射。其次，取自然数集，再作，则是到的一一映射。最后，取，则即为所求。5、由知，；由知，。所以，由伯恩斯坦定理知，即，故。6、（1）设直线上端点为有理数的开区间的全体为集合，记直线上的全体有理数为，则，易知与平面上的有理点集的一无限子集对等，所以可数。（2）设整系数多项式的全体为集合，是（）次整系数多项式的全体，则。显然，由定理1.17知可数。又，再由定理1.16知可数。（3）因任何自然数、有理数都是代数数，因而代数数的全体必是无限集。由于整系数多项式全体为可数集，而每一整系数多项式又只能有有限个实根，故代数数全体可看作可数个有限集的并，所以为可数集。（4）设平面上顶点为有理坐标的三角形的全体为集合，则，由此知中任一元素由互相独立的唯一决定，且各自跑遍一个可数集，所以由定理1.17的推论1.4知，是可数集。7、（1）设无理数集为，有理数集为，则。又有理数集为可数集，所以。（2）设超越数的全体为，代数数的全体为，则。又代数数的全体为可数集，所以 。（3）设是上的任一子集，作函数。记这样的函数组成的集合为，则，又，因此 。又，对任意，则函数图象是的一个子集。而的所有子集组成的集合的基数为，因此。由伯恩斯坦定理知。8、（证明类似于第1章第1.5节的例2同理可得。）对任意，则，从而对任意的正整数，从而。于是存在正整数，当时，因此。所以，即。 反之，对任意，则对任意的正整数，有，即。从而存在正整数，当时，即。再由的任意性知。因此。所以，即。综上可得 。9、由题设易知，单调递增，所以。下证。事实上，由单调递增可得，所以从而 。反之，对任意，有。而，所以存在正整数，当时，即，故综上得，。10、因为，由第1章第1.5节例3， 。所以，由De.Morgan法则， 。11、解答提示：（1）注意到，由逆像集的运算性质即可；（2）注意到，由逆像集的运算性质即可；（3）注意到或或即可。12、解答提示：注意到知，由可以推出。13、解答提示： 因为，所以若，则和至少有一个成立。（B组题）1、因 ，又，故。2、（1）对于。显然对任意正整数，所以 。又设，则对任意正整数恒有，即对任意正整数恒有且，亦即且，故。这说明，若有，则，即。综上得，。对于 。因为对任意，存在正整数，使得，即且。所以 且，于是。所以 。（2）令，（），（），则 ，所以，不成立。（3）由（1），我们只须证明即可。事实上，对任意，则且，即存在i，使得且存在j使得（），不妨设，因为均为递增集列，所以且，即，从而。这就证明了。故。3、 （2） 任取，则存在，使得 。于是存在，使得 ， ，从而，；另一方面，任取，则存在，使得 ，于是，存在，使得，从而，使得，故。（3） 类似（2）可得。（4）任取，则存在，使得。又，所以，从而，故 。（5） 类似于（2）的证明略。（7） 任取，则，从而，所以，即；另一方面，任取，即，则，从而，所以。4、“”：显然。下证。一方面，对任意，由是一一映射知，存在唯一的，使，所以，即。另一方面，对任意，存在，使得，也存在，使得，。由于为单射，故，于是，即。“”：由题设知f为满射。假设不是单射，则存在，使得，取，所以。因此，又，这与矛盾。所以为单射。综上得，为一一映射。5、不妨设函数，为单调减函数，其不连续点的全体为。由数学分析的知识可知，单调函数的不连续点（间断点）为第一类间断点（且为跳跃间断点）。于是对任意，有。记，则。 在，中分别任取有理数，则。对任意，作开区间，并从中选取有理数。显然，与有理数集的子集对等，而是至多可数，所以至多可数。6、由是一个无限集，则包含可数子集，令，则，且是可数集。7、取可数集，则为可数集。因为可数集一定对等，所以存在双射。构造，则为所求的一个一一映射，具体验证从略。 8、设实轴上一切有限闭区间所成之集为。令，则。构造，则是到的一一映射，所以，从而。再构造，则是到的一个子集的一一映射，从而与的一个子集对等，所以。由伯恩斯坦定理知。9、反证法。注意到，所以，。假设，作一一映射，在假设下必有且，且。于是，可取，则，这显然矛盾，故结论成立。10、令。对每个自然数，作。由函数在一点连续的柯西准则知，是的连续点集，下证是至多可数集，从而为至多可数集。事实上，对任意给定，设，由的定义知，存在，使得当 时，有。从而，当 时，有，根据的定义知，由此知中每个点是某开区间的左端点，且。因此，当，且时，有，于是是至多可数集，从而为至多可数集，所以是至多可数集。再注意到的第一类间断点所组成的集合是的子集，所以它是至多可数集。10