第68讲 参数方程解密考纲高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点，常以解答题的形式出现1已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值解析 (1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1.C1是圆心为(4,3)，半径为1的圆C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M.C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|.从而当cos ，sin 时，d取得最小值.2已知直线l：(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解析 (1)2cos 等价于22cos ，将2x2y2，cos x代入，得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入，得t25t180，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知|MA|MB|t1t2|18.3在极坐标系中，圆C的圆心为C，半径为2.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求圆C的极坐标方程；(2)设l与圆的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|PB|.解析 (1)在直角坐标系中，圆心为C(1，)，所以圆C的方程为(x1)2(y)24，即x2y22x2y0，化为极坐标方程得22cos 2sin 0，即4sin .(2)把代入x2y22x2y0，得t24，所以点A，B对应的参数分别为t12，t22.令t0得点P对应的参数为t02.所以|PA|PB|t1t0|t2t0|22|22|22(22)4.4已知曲线C的参数方程是(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C与直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|，求实数m的值解析 (1)由得22得曲线C的普通方程为x2(ym)21.由x1t，得tx1，代入y4t，得y42(x1)，所以直线l的普通方程为y2x2.(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d，所以221，解得m3或m1.5(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标解析 (1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.6(2017江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解析 直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d.当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取得最小值.回顾一年的工作，我也发现了自己的不足之处。如科研方面尚嫌薄弱，全年未发表过一篇论文。今后在这方面应多加努力，要增强科研意识，多投注些时间和精力，刻苦学习，努力钻研，改变科研空白局面，为今后的学术研究工作打下良好的基础。3