第 09 章 压杆稳定9.1 压杆稳定的概念一 概念 压杆 沿轴线方向受压的杆件。 理想压杆 材料均匀、轴线为直线、存在过轴线的对称面、压力作用线与轴线重合的压件。理想压杆区别于实际压杆。 稳定性 指结构在已知静力作用下，外界干扰引起的变形在干扰去除后，变形是否能恢复的性质。稳定性在土木工程类的其他学科（或课程）中可能另有涵义。 压杆失稳 指理想压杆失去稳定性。此时还可称这种失稳为屈曲。 临界压力 又称临界力，指能使已知边界条件和受力形式的压杆失去稳定性的最小压荷载。二 记法 临界压力 （critical force）crF三 规律 由压杆失稳时的临界压力和未变形的结构形式计算出的构件内部应力，可1能小于压杆的材料强度，甚至还可能低于比例极限。 如果静定结构中的某受压杆件失稳（或屈曲） ，结构的其他部分发生刚体位移的概率为 100%。 稳定性问题可能存在于包括杆、杆系、板、壳等结构形式在内的所有结构。9.2 两端铰支细长压杆的临界压力一 概念 压杆的曲线平衡 指外压力超过临界压力之后，压杆弯曲的一种平衡形式。曲线平衡相对于直线平衡。二 记法三 规律 两端铰支细长压杆的临界压力为： 2crEIFl其中：为横截面的最小惯性矩。I 用直接实验的方法确定的临界压力可无限接近理论解，但不可能等于理论解。这是由实际压杆与理想压杆的差别引起的。 参见教材 294 页图 9.8。 压杆失稳在物理上表现为压杆的平衡形式出现多种（直线和曲线） 。四 理论方法（实在搞不懂的话就算了！） 压杆失稳在数学上可以考虑为：联系压杆内力与挠曲的变形微分方程出现多解（平凡解和奇异解） 。 求已知边界条件和受力形式的压杆的临界荷载的方法：2第一步：假设压杆的曲线平衡形式，建立右手坐标系；第二步：列写外压荷载与弯矩的关系式；注意不要理会原始尺寸原理！第三步：列写压杆变形微分方程；注意调整第二步算得的弯矩符号，使其与（教材上推导的）统一的梁变形微分方程的符号保持一致性！第四步：列写压杆的边界条件；第五步：列写压杆变形微分方程的通解；第六步：将外压荷载视为待定量，并寻求满足压杆变形微分方程的奇异解出现的条件；奇异解相对于平凡解，平凡解指外压荷载取任意确定值时得到的与外压荷载无关的解，奇异解指当外压荷载取特定值（待定）时不同于平凡解的解。第七步：由奇异解出现的条件式解出特殊外压荷载值；第八步：取外压荷载值的最小值，即为临界荷载 。crF五 重要习题 教材 297 页例题 9.2 题，298 页例题 9.3 题； 教材 314 页习题 9.19 题； 教材 315 页习题 9.20 题（实在不会做就算了） ； 练习册选择题 1 小题，填空题 1 小题，计算题 2、3 小题。六 现阶段无法理解的问题（所以不要再问了！） 压杆失稳在物理上表现为压杆的平衡形式出现多种（直线和曲线） ；压杆失稳在数学上可以考虑为：联系压杆内力与挠曲的变形微分方程出现多解（平凡解和奇异解） 。但问题是，如何从数学上证明平凡解是不稳定的，而奇异解是稳定的？回答这个问题需要对稳定性作出更为精确的定义，或者说是否需要一个判断结构或构件是否失稳的准则。只有这个判断的准则有了具体的数学表达式之后，才有可能证明哪一个解（平凡解或奇异解）是稳定的。因此，在材料力学范围内，无法回答这个问题！39.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力一 概念 欧拉公式 指已知边界条件的压杆的临界压力计算公式。 相当长度 指计算临界力时，将其他边界条件的压杆折算为两端铰支压杆的长度。 长度因数 指某种边界条件的压杆的相当长度与压杆原长的比。 欧拉公式 指已知边界条件的压杆的临界压力计算公式。二 记法 相当长度 l 长度因数 三 规律 欧拉公式的普遍形式为： 2crEIFl其中：为横截面的最小惯性矩；I为长度因数，取值参见教材 297 页表 9.1；四 理论方法五 重要习题 教材 312 页习题 9.13 题； 练习册选择题 3 小题，计算题 4、5 小题。9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式4一 概念 临界应力 指临界压力除以横截面面积。 柔度 又称长细比，是反应压杆长度、边界条件和横截面形状对临界压力的影响的参数，它并不等于压杆长度与横截面尺寸的比。压杆的柔度越大越容易失稳。二 记法 临界应力 cr 柔度 大、中柔度分界点 1 中、小柔度分界点 2三 规律 柔度计算公式： （ ） ；liIA 大、中柔度分界点计算公式： ；21PE 中、小柔度分界点计算公式： （对直线公式， 、 ）只与2sabab材料有关，可查表得到； 对于一个已知边界条件（ ） 、材料（ 、 、 、 和 ）和几何尺寸aEps（ 和 ）的压杆，求得 、 和 后，立即可以判断该压杆是何种柔度的Il12压杆：；22110 中5 小柔度压杆（根本就不称为失稳，因为它纯粹是一个强度问题）临界应力（实际上不能称为临界应力，应该直接称为屈服极限，写成 仅仅只是为cr了在数学表达式上统一）计算公式为： ；s 中柔度压杆（弹塑性失稳）临界应力计算公式为： ；crab 大柔度压杆（弹性失稳）临界应力计算公式为： （即欧拉公2rE式） ； 如果不设安全系数（或安全系数等于 1） ，设计时必然要求工作应力满足：； crFA四 理论方法（实在搞不懂的话就算了！） 中、小柔度压杆临界应力计算公式除直线公式外，还有抛物线公式，抛物线公式不区分中、小柔度。五 重要习题9.5 压杆的稳定校核一 概念 工作安全系数 指临界压力除以工作压力的值。显然，工作安全系数小于或等于 1，压杆或含有压杆的结构必然失稳。 稳定安全系数 也可称为许用工作安全系数，是表征压杆构件或含有压杆的结构的稳定性的冗余量要求的系数。二 记法 工作安全系数 n 稳定安全系数 （stability 稳定性）st6三 规律 不论对何种柔度的压杆，均要求 。 stn四 理论方法五 重要习题 教材 303 页例题 9.4； 教材 311 页习题 9.11； 练习册计算题第 6 小题。9.6 提高压杆稳定性的措施一 概念二 记法三 规律 增大 、 （ ）或减小压杆长度（ ） ，或增强压杆约束（提高 ） ，都可EIi l 提高 （ ） ；crFr 教材 307 页图 9.20。四 理论方法五 重要习题 练习册选择题 2 小题。7第 10 章 动荷载10.1 概述一 概念 动载荷 与静载荷相对，略。二 记法三 规律 只要应力不超过比例极限，胡克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。10.2 动静法的应用一 概念 动静法 指计算动载荷问题时，将加速度对结构的作用用惯性力来代替，之后再计算结构响应的方法。该方法来源于达朗伯原理，或者说，就是达朗伯原理。 动应力 指动载荷作用下的结构（或构件）内部的应力，与静应力相对。结构的动态响应还包括动应变、动变形、动内力、动弯矩、动挠度等。 动荷因数 指动载荷作用下的结构（或构件）动态响应与相应静载荷作用下的静态响应的比值。二 记法 动荷因数 dK 动应力 8 静应力 （static）st三 规律 匀加速铅直运动的动荷系数为： ；动应力、动应变、动变形、动1daKg内力、动弯矩、动挠度等，等于相应的静态响应值乘以动荷系数； 薄壁圆环或飞轮旋转等，某些问题是没有动荷系数的，只能用达朗伯原理具体问题具体分析。四 理论方法五 重要习题 教材 320 页例题 10.1 题； 教材 336 页习题 10.1、10.3 题，337 页习题 10.5 题，342 页习题10.24 题； 练习册上相应习题。10.4 杆件受冲击时的应力和变形一 概念二 记法三 规律 竖向冲击的动荷系数为： 21dstTKP其中：为冲击物与结构刚接触时的瞬时动能；T9为冲击物的重量（不是质量） ；P为冲击物静置于结构上，引起的冲击点的竖向变形。st 水平冲击的动荷系数为： ，静态响应为假想的水平力 （即冲2dstvKgP击物的重量）引起的静态结构响应。四 理论方法 根据机械能守恒，可推出动荷系数的计算公式。五 重要习题 教材 332 页例题 10.4、10.5 题，333 页例题 10.6 题； 教材 342 页习题 10.22、10.23 题； 练习册上相应习题。10.5 冲击韧性一 概念 冲击韧性 等于冲击吸收功除以冲击试样（按国家标准制作）切槽处最小横截面面积。材料的冲击韧性越大，表明材料抗冲击的性能越强。 金属冷脆 指金属材料冲击韧性随温度的降低而急剧降低的现象。二 记法三 规律第 11 章 交变应力11.1 交变应力与疲劳失效10一 概念 交变应力 指随时间作周期性变化的应力。 疲劳 指交变应力作用下材料低于强度极限发生失效的物理现象。二 规律 疲劳失效的三个特点：破坏前无明显的塑性变形；断口明显的分为光滑区和粗糙区；失效时的名义应力低于强度极限。 疲劳失效的过程分为三个阶段：裂纹萌生阶段；裂纹扩展阶段；突然断裂。三 重要习题 练习册上的有关习题。11.2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力一 概念 循环特征 又称应力比，指最小应力比最大应力的值。 平均应力 指最小应力与最大应力的平均值，并不等于所有应力的平均值。可以表征交变应力的总体水平。 应力幅 指最大应力与最小应力的差的一半，可以表征应力变化的幅度。 对称循环 指 的交变应力。1r 脉动循环 指 或 的交变应力。0二 记法 循环特征 minaxr11 平均应力 （mean）minax2 应力幅 （amplitude）ai三 规律 静应力的循环特征为 1，即 。r四 重要习题 教材 367 页习题 11.1； 练习册上的有关习题。11.3 持久极限 11.6 持久极限曲线一 概念 疲劳寿命 指按国家有关标准将某种材料制作成光滑小试样后，在给定 的交变应力下，从开始试验至试样断裂的max循环次数。 S-N 曲线 指应力寿命曲线，即 与疲劳寿命的关系曲线。max 持久极限 又称疲劳极限，指当 S-N 曲线存在平行于 N 轴的渐近线时，渐近线对应的 值。该值表征光滑小试样无ax论循环多少次也不会破坏。 条件持久极限 指当 S-N 曲线不存在平行于 N 轴的渐近线时，额定的循环次数（又称循环基数）对应的 值。该值表征max光滑小试样的循环次数能满足工程实际的需要。二 记法 持久极限 （循环特征 对应的疲劳极限）rr三 规律12 时， 越小 越小。如： 。1r rr10.25 四 重