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4.1 生活中的立体图形4常见几何体的特征几何体底面侧面顶点数圆柱两个底面,平行,形状大小相等曲面无圆锥一个底面,是圆形曲面一个棱柱两个底面,平行,形状大小相等的多边形平面有棱锥一个底面,是多边形平面有三棱柱的面数是5,顶点数是6,棱数是9;四棱柱的面数是6,顶点数是8,棱数是12;类似的,n棱柱的面数是n2,顶点数是2n,棱数是3n.三棱锥的面数是4,顶点数是4,棱数是6;四棱锥的面数是5,顶点数是5,棱数是8;类似的,n棱锥的面数是n1,顶点数是n1,棱数是2n.【例4】 图中的两个几何体由几个面围成?面与面相交成几条线?它们是直的还是曲的?(1) (2)分析:仔细观察本题中的几何体,(1)是一个圆柱沿着它的高线纵切形成的由于圆柱的侧面是曲面,所以此几何体的侧面也是曲面;(2)是一个六面体截去一个角形成的,组成该几何体的面全是平面解:图中的几何体(1)由4个面围成;面与面相交成6条线,它们中有4条直的,还有2条曲的几何体(2)由7个面围成;面与面相交成14条线,它们全部是直的5.欧拉公式(补充知识)由正多边形顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的计算得出结论:多面体VFE正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030由上表可知,多面体的顶点数、面数、棱数之间的关系式为:VFE2,即顶点数面数棱数2.伟大的数学家欧拉证明了这一公式,所以人们把它称为欧拉公式在利用公式“VFE2”时,首先需正确判断出顶点数、面数和棱数中的两个而多面体的面数是已知的,多面体的面数与多面体的名称一致,例如上表中四面体的面数是4,八面体的面数是8,十二面体的面数是12.所以只需知道顶点数和棱数中的一个,就可以求出另一个当正方体木块切去一块时,剩下的部分还是多面体,它们的顶点数、棱数、面数虽然会发生一些变化,但是三者之间的关系不变,仍然符合欧拉公式解技巧 欧拉公式的应用解决多面体的棱、顶点、面之间的数量关系时,应用欧拉定理较为简便要得到多面体的顶点数、棱数、面数之间的数量关系,可以具体分析表中的数据【例5】 如图,图是正方体木块,切去一块可能得到的图形为,的木块(一)我们知道,图的正方体木块共有8个顶点,12条棱,6个面请你将图,中的木块的顶点数、棱数、面数填入下表图顶点数棱数面数8126(二)观察上表,请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的关系,这种数量关系为_分析:归纳顶点数、棱数、面数之间的关系,当三个量都在变化时,一般不易一下子观察出三者相互间的联系这时,可选取其中某个量不变的情况,观察另外两个量变化时的相互关系如图,顶点数没变,这时棱数、面数的差没变;又如图,中面数没变,这时顶点数、棱数的差没变这样就比较容易发现三者之间的关系解:(一)图顶点数棱数面数81266958126813710157(二)顶点数面数棱数2.6几何体的分类对于几何体的分类,不同的标准便有不同的分法,这种分类的意识很重要,在考试中时有涉及(1)按顶点分为两类:有顶点的多面体:棱柱、棱锥和圆锥;无顶点的多面体:圆柱和球;(2)按棱分为两类:有棱的多面体:棱柱、棱锥;无棱的多面体:圆柱、圆锥、球;(3)按曲面分为两类:有曲面的多面体:圆柱、圆锥、球;无曲面的多面体:棱柱、棱锥;(4)按柱、锥、球分为三类:棱柱和圆柱是柱体;棱锥和圆锥是锥体;球是一类,即球体不论哪一种分类方法,都要做到不重不漏【例6】 将下列几何体分类,并说明理由分析:本题作为一道开放型题,分类的方法非常多,结合本节内容,我们可以从点、线、面、体等不同的角度来加以分类解:(1)按顶点:有顶点为一类,无顶点为一类;(2)按棱:有棱为一类,无棱为一类;(3)按曲面:无曲面为一类,有曲面为一类;(4)按柱、锥、球:是柱体为一类,是锥体为一类,是球体为一类回顾一年的工作,我也发现了自己的不足之处。如科研方面尚嫌薄弱,全年未发表过一篇论文。今后在这方面应多加努力,要增强科研意识,多投注些时间和精力,刻苦学习,努力钻研,改变科研空白局面,为今后的学术研究工作打下良好的基础。3
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