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第5章 数列 第4讲A组基础关1已知数列an的通项公式是an2nn,则其前20项和为()A379 B399C419 D439答案C解析S20a1a2a202(1220)24201419.214916(1)n1n2等于()A. BC(1)n1 D以上答案均不对答案C解析14916(1)n1n21(32)(23)(54)(45)12345,当n为偶数时,14916(1)n1n21234(n1)n2n2;当n为奇数时,14916(1)n1n21234(n1)n.综上,14916(1)n1n2(1)n1.3(2018潍坊二模)设数列an的前n项和为Sn,若Snn2n,则数列的前40项的和为()A. BC. D答案D解析若Snn2n,可得n1时,a1S12;n2时,anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n,则数列an的通项公式为an2n,即有数列的前40项的和为.故选D.4已知函数f(n)且anf(n)f(n1),则a1a2a3a100等于()A0 B100 C100 D102答案B解析由题意,得a1a2a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)100.故选B.5在数列an中,已知对任意nN*,a1a2a3an3n1,则aaaa等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)答案B解析因为a1a2an3n1,所以a1a2an13n11(n2)则n2时,an23n1.当n1时,a1312,适合上式,所以an23n1(nN*)则数列a是首项为4,公比为9的等比数列故选B.6化简Snn(n1)2(n2)2222n22n1的结果是()A2n1n2 B2n1n2C2nn2 D2n1n2答案D解析因为Snn(n1)2(n2)2222n22n1,2Snn2(n1)22(n2)2322n12n,所以得,Snn(222232n)n22n1,所以Sn2n1n2.7(2018湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:第一步:构造数列1,.第二步:将数列的各项乘以,得到一个新数列a1,a2,a3,an.则a1a2a2a3a3a4an1an()A. B.C. D.答案C解析由题意知所得新数列为1,所以a1a2a2a3a3a4an1an.8(2018枣庄模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列的前100项和为_答案解析等差数列an中,a55,S515,解得a11,d1,an1(n1)n,数列的前100项和S1001.9(2019商丘质检)有穷数列1,12,124,1242n1所有项的和为_答案2n1n2解析因为1242n12n1,所以Sn1(12)(124)(1242n1)(21)(221)(231)(2n1)(222232n)nn2n1n2.10设f(x),利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为_答案3解析6(5)1,f(5),f(4),f(5),f(6)共有11112项由f(5),f(6);f(4),f(5);f(0),f(1)共有6对,且该数列为等差数列又f(0)f(1),f(5)f(4)f(6)63.B组能力关1(2018河南郑州一中联考)在数列an中,若对任意的nN*均有anan1an2为定值,且a72,a93,a984,则数列an的前100项的和S100()A132 B299 C68 D99答案B解析因为在数列an中,若对任意的nN*均有anan1an2为定值,所以an3an,即数列an中各项是以3为周期呈周期变化的因为a72,a93,a98a3308a84,所以a1a2a3a7a8a92439,所以S10033(a1a2a3)a100339a7299,故选B.2(2018洛阳模拟)记数列an的前n项和为Sn,已知a11,(Sn1Sn)an2n(nN*),则S2018()A3(210091) B.(210091)C3(220181) D.(220181)答案A解析因为(Sn1Sn)an2n(nN*),所以an1an2n(nN*),所以an2an12n1.两式作比可得2(nN*)又因为a11,a2a12,所以a22.所以数列a2n是首项为2,公比为2的等比数列,a2n1是首项为1,公比为2的等比数列所以S2018(a1a3a2017)(a2a4a2018)3(210091)3已知数列an的前n项和为Sn,数列an为,若Sk14,则ak_.答案解析因为,所以数列,是首项为,公差为的等差数列,所以该数列的前n项和Tn1.令Tn14,解得n7,所以ak.4在等比数列an中,a10,nN*,且a3a28,又a1,a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式;(2)设bnlog4an,数列bn的前n项和为Sn,是否存在正整数k,使得k对任意nN*恒成立,若存在,求出正整数k的最小值;若不存在,请说明理由解(1)设数列an的公比为q,由题意可得a316,a3a28,则a28,q2,a14,所以an2n1.(2)bnlog42n1,Snb1b2bn.,所以.当n1时,12;当n2时,3.故存在k3时,对任意的nN*都有3.5(2017山东高考)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1x23,x3x22.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折线P1P2Pn1,求由该折线与直线y0,xx1,xxn1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q.由已知知q0.由题意得所以3q25q20.因为q0,所以q2,x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1,P2,Pn1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1.记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn.由题意bn2n1(2n1)2n2,所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得,Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1,所以Tn.回顾一年的工作,我也发现了自己的不足之处。如科研方面尚嫌薄弱,全年未发表过一篇论文。今后在这方面应多加努力,要增强科研意识,多投注些时间和精力,刻苦学习,努力钻研,改变科研空白局面,为今后的学术研究工作打下良好的基础。7
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