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第8章 平面解析几何 第4讲A组基础关1已知点M(a,b)在圆O:x2y21外,则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定答案B解析因为点M(a,b)在圆O:x2y21外,所以a2b21,圆O的半径为1,圆O的圆心到直线axby10的距离d1,所以直线axby1与圆O相交2已知圆(xa)2y21与直线yx相切于第三象限,则a的值是()A.BCD2答案B解析依题意得,圆心(a,0)到直线xy0的距离等于半径,即有1,|a|.又切点位于第三象限,结合图形(图略)可知,a.故选B.3(2018太原模拟)若圆C1:x2y21与圆C2:x2y26x8ym0外切,则m()A21B19C9D11答案C解析圆C1的圆心为C1(0,0),半径r11,因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2(m0)上,且与直线2xy10相切的面积最小的圆的方程为()A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x2)2(y1)225答案A解析由圆心在曲线y(x0)上,设圆心坐标为,a0.又圆与直线2xy10相切,所以圆心到直线的距离d,当且仅当2a,即a1时取等号,所以圆心坐标为(1,2),圆的半径的最小值为,则所求圆的方程为(x1)2(y2)25.8(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A,B两点,则|AB|_.答案2解析根据题意,圆的方程可化为x2(y1)24,所以圆的圆心为(0,1),且半径是2,根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d,所以|AB|22.9已知圆C1:x2y26x70与圆C2:x2y26y270相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为_答案xy30解析圆C1的圆心C1(3,0),圆C2的圆心C2(0,3),直线C1C2的方程为xy30,AB的中垂线即直线C1C2,故其方程为xy30.10一个圆与y轴相切,圆心在直线x3y0上,且在直线yx上截得的弦长为2,则该圆的方程为_答案(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29解析所求圆的圆心在直线x3y0上,设所求圆的圆心为(3a,a),又所求圆与y轴相切,半径r3|a|,又所求圆在直线yx上截得的弦长为2,圆心(3a,a)到直线yx的距离d,d2()2r2,即2a279a2,a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.B组能力关1已知方程kx32k有两个不同的解,则实数k的取值范围是()A.BCD答案C解析由题意得,半圆y和直线ykx2k3有两个交点,又直线ykx2k3过定点C(2,3),如图当直线在AC位置时,斜率k.当直线和半圆相切时,由半径2,解得k,故实数k的取值范围是,故选C.2(2018安徽皖江最后一卷)已知圆C经过原点O且圆心在x轴正半轴上,经过点N(2,0)且倾斜角为30的直线l与圆C相切于点Q,点Q在x轴上的射影为点P,设点M为圆C上的任意一点,则()A4B3C2D1答案C解析由题意,直线l:y(x2),即xy20,设圆心C(a,0)(a0),则a,解得a2,所以圆C的方程为(x2)2y24,将y(x2)代入圆C的方程,可解得xP1,故P(1,0)设M(x,y),则,将圆C的方程x2y24x代入得,4,2.3(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0,则点A的横坐标为_答案3解析如图,因为AB为直径,所以ADBD,所以BD即B到直线l的距离,BD2.因为CDACBCr,又CDAB,所以AB2BC2,设A(a,2a),AB2a1或3(a1舍去)4已知过原点的动直线l与圆C1:x2y26x50相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x3)2y24,圆C1的圆心坐标为C1(3,0)(2)设M(x,y),A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,由圆的性质知,MC1MO,0.又(3x,y),(x,y),x23xy20.易知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为ymx,当直线l与圆C1相切时,圆心到直线l的距离d2,解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x230x250,解得x.当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,x3.点M的轨迹C的方程为x23xy20,其中x3,其轨迹为一段圆弧5(2017全国卷)已知抛物线C:y22x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,2),求直线l与圆M的方程解(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:xmy2,由可得y22my40,则y1y24.又x1,x2,故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1,所以OAOB,故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m,x1x2m(y1y2)42m24,故圆心M的坐标为(m22,m),圆M的半径r.由于圆M过点P(4,2),因此0,故(x14)(x24)(y12)(y22)0,即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24,x1x24,所以2m2m10,解得m1或m.当m1时,直线l的方程为xy20,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时,直线l的方程为2xy40,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为22.回顾一年的工作,我也发现了自己的不足之处。如科研方面尚嫌薄弱,全年未发表过一篇论文。今后在这方面应多加努力,要增强科研意识,多投注些时间和精力,刻苦学习,努力钻研,改变科研空白局面,为今后的学术研究工作打下良好的基础。7
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