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第8章 平面解析几何 第7讲A组基础关1点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2答案D解析抛物线yax2(a0)的方程可化为x2,准线方程为y,由题意得6,解得a或,所以抛物线的方程为yx2或yx2.2(2019河南天一大联考)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,抛物线上一点M(2,m)满足|MF|6,则抛物线C的方程为()Ay22x By24xCy28x Dy216x答案D解析依题意,26,故p8,故抛物线C的方程为y216x.3已知点A是抛物线y22px(p0)上一点,F是抛物线的焦点,则以AF为直径的圆与y轴的位置关系是()A相交 B相离 C相切 D不确定答案C解析如图,取AF的中点C,作CNy轴,AMy轴,垂足分别为N,M,可得|CN|AF|,所以以AF为直径的圆与y轴相切4设抛物线C:y24x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A,过抛物线C上一点P作准线l的垂线,垂足为Q.若QAF的面积为2,则点P的坐标为()A(1,2)或(1,2) B(1,4)或(1,4)C(1,2) D(1,4)答案A解析设点P的坐标为(x0,y0)因为QAF的面积为2,所以2|y0|2,即|y0|2,所以x01,所以点P的坐标为(1,2)或(1,2)5(2018长沙模拟二)已知点P(x0,y0)是抛物线y24x上的一个动点,Q是圆C:(x2)2(y4)21上的一个动点,则x0|PQ|的最小值为()A21 B2 C3 D4答案C解析设抛物线y24x的焦点F(1,0),过点P(x0,y0)作准线l:x1的垂线,垂足为N,则x0|PQ|PN|PQ|1|PF|PQ|1|CF|22523,当且仅当C,P,F三点共线且点Q在线段CF上时取等号,则x0|PQ|的最小值是3,故选C.6(2018全国卷)设抛物线C:y24x的焦点为F,过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则()A5 B6 C7 D8答案D解析根据题意,过点(2,0)且斜率为的直线方程为y(x2),与抛物线方程联立消去x并整理,得y26y80,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以(0,2),(3,4),从而可以求得03248.故选D.7已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于()A4 B4 Cp2 Dp2答案A解析解法一:若焦点弦ABx轴,则x1x2,所以x1x2;y1p,y2p,y1y2p2,4.解法二:若焦点弦AB不垂直于x轴,可设AB的直线方程为yk,联立得k2x2(k2p2p)x0,则x1x2.所以y1y2p2.故4.8(2018西宁检测一)已知点P(2,1),若抛物线y24x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线方程是_答案2xy30解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y22,且y4x1,y4x2,两式相减得2(y1y2)4(x1x2),且x1x2,则直线AB的斜率kAB2,又弦AB过点P,则所求直线方程为y12(x2),即2xy30.9直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左至右的交点依次为A,B,C,D,则的值为_答案16解析如图所示,抛物线x24y的焦点为F(0,1),直线3x4y40过点(0,1),由得4y217y40,设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1y2,y1y21,解得y1,y24,则16.10过抛物线C:x22y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|_.答案1解析把抛物线C的方程x22y改写为y求导得yx,因为抛物线C在点B处的切线斜率为1,即yxB1,所以点B的坐标为,抛物线的焦点F的坐标为,所以直线l的方程为y,所以A,|AF|1.B组能力关1(2018衡水调研)已知抛物线y24x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则yy的最小值为()A12 B24 C16 D32答案D解析当直线的斜率不存在时,其方程为x4,由得y14,y24,yy32.当直线的斜率存在时,设其方程为yk(x4),由得ky24y16k0,y1y2,y1y216,yy(y1y2)22y1y23232,综上可知,yy32.yy的最小值为32.2.如图,已知直线与抛物线x22py交于A,B两点,且OAOB,ODAB交AB于点D,点D的坐标为(2,4),则p的值为()A2 B4 C.D.答案D解析ODAB,kODkAB1.又kOD2,kAB,直线AB的方程为y4(x2),即yx5,由消去y可得x2px10p0,p240p0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2p,x1x210p,则x1x2y1y20,又x1x2y1y2x1x2x1x2(x1x2)25(10p)(p)250,p.3(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C:y24x,过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点若AMB90,则k_.答案2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以yy4x14x2,所以k.取AB的中点M(x0,y0),分别过点A,B作准线x1的垂线,垂足分别为A,B.因为AMB90,所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)因为M为AB的中点,所以MM平行于x轴因为M(1,1),所以y01,则y1y22,所以k2.4.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1y2的值及直线AB的斜率解(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y22px(p0)因为点P(1,2)在抛物线上,所以222p1,解得p2.故所求抛物线的方程是y24x,准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.则kPA(x11),kPB(x21),因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以kPAkPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得所以,所以y12(y22)所以y1y24.由得,yy4(x1x2),所以kAB1(x1x2)C组素养关1(2018惠州高三第一次调研)已知圆x2y212与抛物线x22py(p0)相交于A,B两点,点B的横坐标为2,F为抛物线的焦点(1)求抛物线的方程;(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆相交于四个不同的点,从左至右依次为P1,P2,P3,P4,求|P1P2|P3P4|的值解(1)设B(2,y0),由题意得解得所以抛物线的方程为x24y.(2)设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P1,P3在圆上,P2,P4在抛物线上因为直线l过点F(0,1)且斜率为1,所以直线l的方程为yx1.联立,得消去y,得2x22x110,所以x1x31,x1x3,|P1P3|.联立,得消去y,得x24x40,所以x2x44,x2x44,|P2P4|8.由题意,易知|P1P2|P1P3|P2P3|,|P3P4|P2P4|P2P3|,得|P1P2|P3P4|P1P3|P2P4|,所以|P1P2|P3P4|8.2已知点H(1,0),点P在y轴上,动点M满足PHPM,且直线PM与x轴交于Q点,Q是线段PM的中点(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)若点F是曲线E的焦点,过F的两条直线l1,l2关于x轴对称,且l1交曲线E于A,C两点,l2交曲线E于B,D两点,A,D在第一象限,若四边形ABCD的面积等于,求直线l1,l2的方程解(1)设M(x,y),P(0,y),Q(x,0),则(1,y),(x,y),PHPM,xy20,即y2x,由题意得代入y2x,得(y)2(x0)故动点M的轨迹E的方程为y2(x0)(2)由(1)知F,设直线l1:xky(k0),由得y2y0,yAyC,yAyC,依题意可知,四边形ABCD是等腰梯形,S四边形ABCD(yAyC)k(yAyC)2k(yAyC)24yAyC,由(k3k),整理得k3k100,(k2)(k22k5)0,又k22k50,k2.直线l1的方程为yx,同理可得直线l2的方程为yx.直线l1,l2的方程分别为yx,yx.回顾一年的工作,我也发现了自己的不足之处。如科研方面尚嫌薄弱,全年未发表过一篇论文。今后在这方面应多加努力,要增强科研意识,多投注些时间和精力,刻苦学习,努力钻研,改变科研空白局面,为今后的学术研究工作打下良好的基础。7
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