第4节 数列求和及综合应用,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 数列求和有哪些方法? 提示:公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法.,知识梳理,1.数列求和的基本方法 (1)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求解. (2)倒序相加法 如果一个数列an满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数),那么求这个数列的前n项和,可用倒序相加法. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成,求和时可用分组求和法,分别求和而后相加.,熟记公式，最基本的要求,(5)并项求和法 一个数列的前n项和中,若项与项之间能两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用并项法求解. (6)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 2.数列应用题的常见模型 (1)等差模型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.,夯基自测,1.(2015高考浙江卷)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( ) (A)a1d0,dS40 (B)a1d0,dS40,B,A,C,解析:由已知可得a1=4,a2=f(a1)=f(4)=2,a3=f(a2)=f(2)=4, 所以数列an为周期数列,an+2=an, 所以a2 015=a21 007+1=a1=4. 故选C.,5.32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n= .,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一 数列求和(高频考点),考查角度1:分组法求和. 【例1】 (2016哈师大附中月考)已知数列an,bn满足a1=5,an=2an-1+ 3n-1(n2,nN*),bn=an-3n(nN*). (1)求数列bn的通项公式;,先确定bn是什么数列，再求通项,(2)求数列an的前n项和Sn.,先求an，再确定求和方法,反思归纳,分组法求和的常见类型 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组法求an的前n项和.,考查角度2:裂项相消法. 高考扫描:2013高考新课标全国卷 【例2】 (2015宁夏石嘴山高三联考)已知各项都不相等的等差数列an的前7项和为70,且a3为a1和a7的等比中项. (1)求数列an的通项公式;,列方程组求基本量,先求bn,后确定方法,反思归纳,(2)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使前后相等.,考查角度3:错位相减法求和. 高考扫描:2014高考新课标全国卷 【例3】 (2015东北三校第二次联考)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,nN*. (1)求数列an的通项公式;,构造法不要漏掉n=1 的情况！,(2)设bn=nan,求数列bn的前n项和Tn.,体现错位， 幂指数相同的作差,中间n项,反思归纳,错位相减法求和策略 (1)如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解. (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.,数列与函数、不等式的综合,列方程组求基本量,构造法求bn,(2)若bnan对nN*均成立,求实数的取值范围.,分离参数转化成求最值问题,反思归纳,(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类:已知函数条件,解决数列问题,一般利用函数的性质、图像;已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形. (2)数列与不等式的恒成立问题.此类问题常构造函数,通过函数的单调性、最值等解决问题. (3)与数列有关的不等式证明问题.解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等.,(1)证明:由题意得Sn=2an-2, 所以Sn-1=2an-1-2(n2,nN*). 两式相减得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n2,nN*). 又a1=S1=2a1-2,所以a1=2. 所以数列an是以2为首项,2为公比的等比数列.,(2)设数列bn满足bn=an+1-an,求数列bn的前n项和Tn.,(2)解:法一 由(1)得an=22n-1=2n, 所以Tn=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an+1-an)=an+1-a1=2n+1-2. 法二 由(1)得an=22n-1=2n, 则bn=an+1-an=2n+1-2n=2n=an. 故Tn=Sn=2an-2=2n+1-2.,备选例题,【例2】 (2015河南省六市第二次联考)已知数列an的首项为a1=1,a2=3, 且满足对任意的nN*,都有an+1-an2n,an+2-an32n成立,则a2 015= .,解析:因为an-an+2-32n, an+1-an2n. 式与式相加得an+1-an+2-2n+1, 所以an+2-an+12n+1. 又an+2-an+12n+1. 由和可得an+2-an+1=2n+1,所以an+1-an=2n. 利用累加法可求得an+1-a1=2n+2n-1+21=2n+1-2, 所以an+1=2n+1-1,所以an=2n-1.所以a2 015=22 015-1.,答案:22 015-1,【例3】 (2015河南六市第一次联考)已知an是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5=45,a2+a6=14. (1)求数列an的通项公式;,解:(1)设等差数列an的公差为d, 由题意知d0. 由a2+a6=14,可得a4=7. 由a3a5=45,得(7-d)(7+d)=45,可得d=2. 所以a1=7-3d=1.可得an=2n-1.,【例4】 (2015石家庄一模)设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=Sn+1(nN*,-1),且a1,2a2,a3+3为等差数列bn的前三项. (1)求数列an,bn的通项公式;,解:(1)因为an+1=Sn+1(nN*),所以an=Sn-1+1(n2), 所以an+1-an=an,即an+1=(+1)an(n2),+10, 又a1=1,a2=S1+1=+1, 所以数列an为以1为首项,公比为+1的等比数列, 所以a3=(+1)2,所以4(+1)=1+(+1)2+3, 整理得2-2+1=0,得=1. 所以an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.,(2)求数列anbn的前n项和.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,数列的综合问题,答题模板:第一步:由条件等式确定数列an是一个特殊数列(等差或等比数列). 第二步:由条件确定首项a1. 第三步:确定数列an的通项公式及bn的通项公式. 第四步:根据数列bn的通项公式特点,求数列bn的前n项和.,