概率论与数 理 统 计 主讲:赵敏,1.7 伯努利概型,一、试验的独立性,如果两次试验的结果是相互独立的，称两次试验是相互独立的。,当然，两次试验是相互独立的，由此产生的事件也是相互独立。,二、伯努利概型,1、伯努利试验,若试验E只有两个可能的结果：A及 ，称这个试验为伯努利试验 。,2、伯努利概型,设随机试验E具有如下特征：,1）每次试验是相互独立的 ；,2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件,3）每次试验的结果发生的概率相同即P（A）=p， P（ ）=1-p=q 。,称试验E表示的数学模型为伯努利概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重伯努利试验。记为 。,；,由此可知“一次抛掷n枚相同的硬币”的试验可以看作是一个 n重伯努利试验。,一个伯努利试验的结果可以记作,其中,或者为A 或者为,因而这样的,共有,个,它们的全体就是伯努利试验的样本空间,如果,中有 k个A，则必有n-k个,于是由独立性即得,例1设某人打靶，命中率为0.8,（1）现独立地重复射击两次，求恰好命中一次的概率,（2）现独立地重复射击三次，求恰好命中一次的概率,解：,设 =“第一次命中”， =“第二次命中”,（1）P(“两次恰好命中一次”）,（2）P(“三次恰好命中一次”),类似P(“三次恰好命中二次”),P(“n次恰好命中k次”),推广到一般情形：,对于伯努利概型，如果要求“n重伯努利试验中事件A出现k次”这一事件的概率,记 n重伯努利试验中事件A出现k次,事件A在n次试验中发生k次的概率为,这个概率常称为二项概率，记为,即：,k=0，1，2，n,在n伯努利试验。事件A至少发生一次的概率为,例2已知100个产品中有5个次品，现从中每次任取一个，有放回地取3次，求在所取的3个中恰有2个次品的概率。,解：,设A=“取到次品”，B=“3个中恰有2个次品”,（2）P（4到6次朝上）=P（4次朝上）+ P（5次朝上）+ P（6次朝上）,例3把一枚硬币任意掷10次，求正面朝上： （1）5次；（2）4到6次的概率。,解：,（1）这里最容易犯的错误是以为掷10次硬币得到5次正面朝上的概率为0.5，其实不然。,P（5次朝上）,例4某类电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏的概率。,解：,P（A）=P（三个都好+恰有两个好）,例5金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的，现因当地电力供紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床。问这10台机床能够正常工作的概率为多大？,解：,于是同时开动着的机床台数不超过5台的概率为,50千瓦电力可用时供给5台机床开动，因而10台机床中同时开动的台数为不超过5台时都可以正常工作，而每台机床只有“开动”与“不开动”的两种情况，且开动的概率为12/60=1/5。不开动的概率为4/5。设10台机床中正在开动着的机床台数为 ，则,由此可知，这10台机床能正常工作的概率为0.994，也就是说这10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响。,例6某人有一串m把外形相同的钥匙其中只有一把能打开家门。有一天该人酒醉后回家，下意识地每次从m把钥匙中随便拿一把去开门，问该人第k次才把门打开的概率为多少？,因为该人每次从m把钥匙中任取一把（试用后不做记号又放回）所以能打开门的一把钥匙在每次试用中恰被选种的概率为1/m，易知，这是一个伯努利试验，在第k次才把门打开，意味着前面k-1次都没有打开，于是由独立性即得,解：,P（第k次才把门打开）=,伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士数学家,概率论的奠基人,在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的较为罕见，其中，瑞士的伯努利家族最为突出。 伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。,老尼古拉伯努利（Nicolaus Bernoulli，公元16231708年）生于巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子。其中长子雅各布（Jocob，公元16541705年）和第三个儿子约翰（Johann，公元16671748年）成为著名的数学家，第二个儿子小尼古拉（Nicolaus I，公元16621716年）在成为彼得堡科学院数学界的一员之前，是伯尔尼的第一个法律学教授。 1654年12月27日，雅各布伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在那里写内容丰富的沉思录。,1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。 许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。 雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著推测术，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。 最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。,