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第 2 讲,平面向量的数量积,1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系,3掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运,算,4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两,个平面向量的垂直关系,1两个向量的数量积的定义,已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 ab,即 ab|a|b|cos.规定 零向量与任一向量的数量积为 0,即 0a0.,2平面向量数量积的几何意义,数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos,的乘积,3平面向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,为 a 与 b(或 e)的 夹角,则 (1)eaae|a|cos. (2)abab0. (3)当 a 与 b 同向时,ab|a|b|;,当 a 与 b_向时,ab|a|b|;,反,4平面向量数量积的坐标运算 设向量 a(x1,y1),b(x2,y2),向量 a 与 b 的夹角为,则,1已知a(,2),b(4,10),且ab,则实数的值为,(,),C,A.,4 5,B,4 5,C5,D5,2已知向量 a,b 满足|a|4,|b|1,且 ab2,则 a,与 b 的夹角大小为(,),B,A., 3,B.,2 3, C. 6,D.,5 6,3已知向量 a(x,y),b(1,2),且 ab(1,3),则|a|,(,),C,5,考点 1,向量数量积的基本运算,例1:(1)(2014年大纲)已知a,b为单位向量,其夹角为 60,,),则(2ab)b( A1 C1,B0 D2,解析:(2ab)b2abb22|a|b|cos60|b|221 1cos6010.故选 B. 答案:B,(2)(2013 年北京顺义第一次统练)已知向量 a(2,1),b,(2,k),且 a(2ab),则实数 k(,),A14,B6,C6,D14,解析:a(2ab),a(2ab)0,即 2|a|2ab0, 25(4k)0,解得 k14. 答案:D 【规律方法】向量的数量积通常有两种计算方法:一是利 用坐标运算,设向量a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2; 二是利用数量积的定义,即ab|a|b|cos.,【互动探究】 1(2015 年广东江门一模)已知向量 a(3,4),b(1,m),,若 a(ab)0,则 m(,),C,A.,11 2,B,11 2,C7,D7,2(2013 年安徽)若非零向量 a,b 满足|a|3|b|a2b|,,则 a,b 夹角的余弦值为_,1 3,解析:|a|3|b|a2b|,|a|29|b|2|a2b|2|a|24|b|2 4ab |a|2 4|b|2 4|a|b|cos,即9|b|2 4|b|2 12|b|b|cos,考点 2,向量数量积在平面几何中的应用,例 2:(1)(2013 年山东泰安统测)如图 4-2-1,已知正六边形,),P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是( 图 4-2-1,答案:A,图 D16,答案:16 【规律方法】当向量表示平面图形中的一些有向线段时, 要根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知的 向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向 量定理和平面向量基本定理及解三角形等知识,则ABAD的取值范围是_,【互动探究】 3在边长为 1 的等边ABC 中,点 D 为 BC 边上的一动点,, ,考点 3,向量的数量积在解析几何中的应用,【规律方法】(1)同弧的圆周角、圆外角和圆内角中,圆内 角最大,圆外角最小当圆周角为直角时,只要判断点与直径 两端点的连线所构成的角是锐角还是钝角即可知道该点是在圆 内还是圆外,(2)在解析几何中,两个向量相等通常转化为两个分量相,等,(3)对于解析几何中的向量,通常要清楚向量的几何意义:,如垂直问题,平分问题,平行问题,等份问题等,【互动探究】,A,易错、易混、易漏,向量中错误使用充要条件造成问题解答不全,例题:已知向量 a(m2,m3),b(2m1,m2) (1)若向量 a 与 b 的夹角为直角,求实数 m 的值;,(2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角,求实数 m 的取值范围,正解:(1)若 a 与 b 的夹角为直角,则 ab0, 即(m2)(2m1)(m3)(m2)0.,【失误与防范】两个向量 ab0 等价于,|,ab a|b|,0,相当于夹,角的余弦值小于零,我们知道cos=10 中包 括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况这两点在解题 中要特别注意,
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