第3节 函数的奇偶性与周期性,1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.奇函数f(x)的图像一定过点(0,0)吗?,提示:不一定,只有当f(x)在x=0处有定义时,f(x)的图象才过(0,0)点.,2.若函数f(x+1)是奇函数,函数y=f(x)关于点(1,0)对称吗?,提示:对称,因为y=f(x+1)关于原点(0,0)对称,而y=f(x+1)向右平移1个单位得到y=f(x)的图象,所以y=f(x)关于点(1,0)对称.,3.函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)的周期是多少?,提示:因为f(x+2a)=f(x+a)+a)=-f(x+a)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的周期函数.,知识梳理,1.奇函数、偶函数的定义及图像特征,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),原点,y轴,原点,任意,2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: T0; f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_, 那么这个 就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,【重要结论】 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (4)在公共定义内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,最小的正数,最小的正数,3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.,夯基自测,B,1.(2015高考北京卷)下列函数中为偶函数的是( ) (A)y=x2sin x (B)y=x2cos x (C)y=|ln x| (D)y=2-x,解析:y=x2sin x为奇函数,y=x2cos x为偶函数,y=|ln x|与y=2-x均为非奇非偶函数.,B,B,3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2,解析:因为f(x+4)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 所以f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(8)=f(0)=0.,答案:1,考点专项突破 在讲练中理解知识,函数奇偶性的判断,考点一,反思归纳 判断函数的奇偶性 (1)定义法:定义域关于原点对称,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)分别为奇、偶函数. (2)分段函数奇偶性的判断,要从每一段寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x) =-f(x),只有每个区间上都满足相同关系时,分段函数才具有奇偶性. (3)函数图像关于原点、y轴对称分别为奇函数、偶函数.,(2)(2015高考湖南卷)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) (A)奇函数,且在(0,1)上是增函数 (B)奇函数,且在(0,1)上是减函数 (C)偶函数,且在(0,1)上是增函数 (D)偶函数,且在(0,1)上是减函数,函数周期性及其应用,考点二,答案:C,(2)(2015菏泽模拟)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x)现有以下三种叙述: 8是函数f(x)的一个周期;f(x)的图像关于直线x=2对称;f(x)是偶函数. 其中正确的序号是 .,解析:(2)由f(x)+f(x+2)=0,得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即4是f(x)的一个周期,8也是f(x)的一个周期;由f(4-x)=f(x),得f(x)的图像关于直线x=2对称;由f(4-x)=f(x)与f(x+4)=f(x),得f(4-x)=f(-x),即f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数.,答案:(2),反思归纳 函数周期性的判定与应用 (1)判定:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T. (2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,【即时训练】 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1对于xR恒成立,且f(x)0,则f(119)= .,答案:1,函数奇偶性的应用,考点三,【例3】 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3,解析:(1)因为f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x, 所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2-(-1)=-3.故选A.,反思归纳 函数奇偶性应用的常见题型及求解策略,【即时训练】 (1)(2015邢台质检)已知函数f(x)=ax5+x3+bx-5,若 f(-100)=8,那么f(100)= .,解析:(1)设g(x)=ax5+x3+bx,h(x)=-5, 易得g(x)为奇函数,h(x)为偶函数, 所以f(x)=g(x)+h(x), f(-100)=g(-100)+h(-100)=8, 所以g(-100)=13, f(100)=g(100)+h(100)=-g(-100)+h(-100)=-13-5=-18.,答案:(1)-18,(2)(2015东莞模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)= x2+2x-1,则f(x)在R上的解析式为 .,函数性质的综合应用(高频考点),考点四,【例4】 已知定义在R上的奇函数满足f(x)=x2+2x(x0),若f(3-a2) f(2a),则实数a的取值范围是 .,解析:当x0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1, 所以函数f(x)在0,+)上为增函数, 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 所以函数f(x)在R上是增函数. 由f(3-a2)f(2a)得3-a22a. 解得-3a1.,考查角度1:函数的单调性与奇偶性相结合问题. 高考扫描:2011高考新课标卷,答案:(-3,1),反思归纳 函数单调性与奇偶性结合,注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.,考查角度2:函数的奇偶性与周期性相结合问题. 【例5】 若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于( ) (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2,解析:由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, 所以f(3)-f(4)=-1.故选A.,反思归纳 周期性与奇偶性结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交替转化,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.,考查角度3:函数的奇偶性与对称性相结合问题. 高考扫描:2014高考新课标卷 【例6】 (2014高考新课标全国卷)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .,解析:因为f(x)的图像关于直线x=2对称, 所以f(2+1)=f(2-1), 即f(1)=f(3)=3, 又函数y=f(x)是偶函数, 所以f(-1)=f(1)=3.,答案:3,反思归纳 (1)若函数f(x)关于直线x=a和直线x=b(ab)对称,则函数f(x)必为周期函数,2(a-b)是它的一个周期; (2)若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)(ab)对称,则函数f(x)必为周期函数,2(a-b)是它的一个周期.,考查角度4:函数的奇偶性、周期性、单调性相结合问题. 【例7】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则( ) (A)f(-25)f(11)f(80) (B)f(80)f(11)f(-25) (C)f(11)f(80)f(-25) (D)f(-25)f(80)f(11),解析:因为f(x)满足f(x-4)=-f(x), 所以f(x-8)=f(x), 所以函数f(x)是以8为周期的周期函数, 则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)= -f(-1)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在R上是奇函数, 所以f(x)在区间-2,2上是增函数, 所以f(-1)f(0)f(1), 即f(-25)f(80)f(11).故选D.,反思归纳 周期性、奇偶性与单调性结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,备选例题,【例1】 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)= -f(x).当x0,2时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;,(1)证明:因为f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是周期为4的周期函数.,(2)当x2,4时,求f(x)的解析式;,(2)解:当x-2,0时,-x0,2,由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2, 所以f(x)=x2+2x. 又当x2,4时,x-4-2,0, 所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x2,4时,f(x)=x2-6x+8.,(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2014).,(3)解:f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) = =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2014)=f(0)+f(1)+f(2)=0+1+0=1.,经典考题研析 在经典中学习方法,已知函数的奇偶性解不等式,命题意图:本题通过函数的奇偶性转化为方程问题求解参数,而后得出函数解析式,分析出函数单调性,定义域是本题隐含的条件,借助单调性转化为自变量之间的关系,从而得出x的取值范围.,