第十三章 推理与证明、算法、复数 13.1 合情推理与演绎推理 内容 索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1.合情推理 (1)归纳推理 定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法). 特点：归纳推理是由 到整体、由 到一般的推理. (2)类比推理 定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它 们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比 法). 特点：类比推理是由 到 的推理. 部分个别 特殊特殊 知识梳理 1 答案 (3)合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及 个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都 是数学活动中常用的合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理.简言 之，演绎推理是由 到 的推理. 一般特殊 答案 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 大前提已知的； 小前提所研究的 ； 结论根据一般原理，对 做出的判断. 一般原理 特殊情况 特殊情况 答案 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适.( ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数” ，这是三段论推理，但其结论是错误的.( ) (5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*).( ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ) 思考辨析 答案 1.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b5 11，则a10b10_. 解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值， 从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和 ， 依据此规律，a10b10123. 123 考点自测 2 解析答案12345 2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无 限循环小数”是假命题，推理错误的原因是_. 使用了归纳推理； 使用了类比推理； 使用了“三段论”，但推理形式错误； 使用了“三段论”，但小前提错误. 解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式 错误. 解析答案12345 3.(2014福建)已知集合a，b，c0,1,2，且下列三个关系：a2 ，b2，c0有且只有一个正确，则100a10bc_. 解析答案12345 解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论： 所以解得ab1，c0，或a1，bc0，或b1，ac0，与互 异性矛盾； 解析答案12345 所以100a10bc201. 答案 201 12345 4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得 出空间内的下列结论： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一个平面的两个平面互相平行； 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是_. 解析 显然正确； 对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面 或相交； 对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交. 解析答案12345 5.(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1 a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中 ，若b91，则b1b2b3b4bn_. b1b2b3b4b17n (n0 ， nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn _. 解析 设数列an的公差为d，数列bn的公比为q. 题型二 类比推理 解析答案思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行 类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理 常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等 比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等. 思维升华 解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高， P为三棱锥ABCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd ， 跟踪训练2 解析答案 (n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn. (大前提是等比数列的定义，这里省略了) 题型三 演绎推理 解析答案 (2)Sn14an. 又a23S13，S2a1a21344a1， (小前提) 对于任意正整数n，都有Sn14an. (结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 解析答案思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推 理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提 ，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为 大前提. 思维升华 某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜 ，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的，是因为_. 大前提错误； 小前提错误； 推理形式错误； 非以上错误. 解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身 正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下 的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推 理形式错误. 跟踪训练3 解析答案返回 高频小考点 典例1 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用 小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小 到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测： b2 014是数列an的第_项； b2k1_.(用k表示) 高频小考点10.高考中的合情推理问题 解析答案 解析答案 答案 5 035 (2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满 足：(1)Tf(x)|xS；(2)对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有 f(x1)f(x2).那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同 构”的是_. AN*，BN； Ax|1x3，Bx|x8或0x10； Ax|0xAB，则P点的轨迹为椭圆； 由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 ； 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所 以是归纳推理. 解析答案 2.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x2 1)是奇函数，以上推理_. 结论正确； 大前提不正确； 小前提不正确； 全不正确. 解析 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误. 123456789101112131415 解析答案 3.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 f(n)_. 解析 1条直线将平面分成11个区域； 2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域； 3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域； ； 123456789101112131415 解析答案 4.给出下列三个类比结论： (ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn； loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ； (ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2. 其中正确结论的个数是_. 解析 (ab)nanbn(n1，ab0)，故错误. sin()sin sin 不恒成立. 由向量的运算公式知正确. 1 123456789101112131415 解析答案 123456789101112131415 解析答案 若cn是等比数列， 即dn为等比数列. 答案 123456789101112131415 6.观察下列不等式： 照此规律，第五个不等式为_. 123456789101112131415 解析答案 解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母 的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列. 123456789101112131415 123456789101112131415 解析答案 解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 因为P0(x0，y0)在这两条切线上， 123456789101112131415 解析 由等比数列的性质可知 b1b30b2b29b11b20， 123456789101112131415 解析答案 123456789101112131415 解析答案 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 123456789101112131415 归纳猜想得：当x1x21时， 解析答案 证明：设x1x21， 123456789101112131415 123456789101112131415 解析答案 解 如图所示，由射影定理得 AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC， 123456789101112131415 又BC2AB2AC2， 猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD， 解析答案 证明：如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF. ABAC，ABAD，ACADD， AC平面ACD，AD平面ACD，AB平面ACD. 123456789101112131415 AF平面ACD，ABAF. 11.已知正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩 形.根据“三段论”推理出一个结论.则这个结论是_.(填序号) 解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所 以结论是正方形的对角线相等. 123456789101112131415 解析答案 12.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转 一周所形成的平面图形，又圆环的面积S(R2r2)(R r)2 .所以，圆环的面积等于以线段ABRr为宽， 以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2 为长的矩形面积 .请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M(x， y)|(xd)2y2r2(其中0rd)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积 是_. 123456789101112131415 解析答案 解析 平面区域M的面积为r2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋 转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以