资源预览内容
第1页 / 共50页
第2页 / 共50页
第3页 / 共50页
第4页 / 共50页
第5页 / 共50页
第6页 / 共50页
第7页 / 共50页
第8页 / 共50页
第9页 / 共50页
第10页 / 共50页
亲,该文档总共50页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.3 几何概型 内容 索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1.几何概型的概念 设D是一个可度量的区域(例如 、 、 等),每个 基本事件可以视为从区域D内随机地取一点,区域D内的每一点被取到 的机会 ;随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的 .这时,事件A发生的概率与d的测度( 、 、 等)成正比,与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称 为几何概型. 线段平面图形立体图形 都一样某个指 定区域d中的点长度面积体积 知识梳理 1 答案 2.几何概型的概率计算公式 一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一 个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A). 3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 ; (2)等可能性:每个结果的发生具有. 无限多个 等可能性 答案 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出 随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本 步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随 机数一定的意义;统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数 个数N;计算频率fn(A) 作为所求概率的近似值. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( ) (2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地 取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( ) (6)从区间1,10内任取一个数,取到1的概率是P .( ) 思考辨析 答案 1.(教材改编)在线段0,3上任投一点,则此点坐标小于1的概率为 _. 解析 坐标小于1的区间为0,1,长度为1,0,3区间长度为3, 考点自测 2 解析答案12345 2.(2015山东改编)在区间0,2上随机地取一个数x,则事件 “1 1”发生的概率为_. 由几何概型的概率计算公式得所求概率 解析答案12345 3.(2014辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长 方形ABCD中,其中AB2,BC1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_. 解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A, 解析答案12345 4.(2014福建)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为_. 解析 由题意知,这是个几何概型问题, S正1,S阴0.18. 0.18 解析答案12345 5.(教材改编)如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中 随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为_. 解析 设圆的半径为R, 由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形, 12345解析答案返回 题型分类 深度剖析 例1 (1)(2015重庆)在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x22px 3p20有两个负根的概率为_. 解析 方程x22px3p20有两个负根, 题型一 与长度、角度有关的几何概型 解析答案 解析答案 (3)如图所示,在ABC中,B60,C45,高 AD ,在BAC内作射线AM交BC于点M,求BM1的 概率. 解 因为B60,C45,所以BAC75. 记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M,使BM1”, 则可得BAMBAD时事件N发生. 解析答案 引申探究 解析答案 2.若本例(3)中“在BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上 找一点M”,求BM1的概率. 解析答案思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何 模型转化为长度(角度),然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型 ”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度). 思维升华 (1)如图,在直角坐标系内,射线OT落在30角的 终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内 的概率为_. 解析 如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的, 跟踪训练1 解析答案 解析 由题意得Ax|1x5,Bx|2x3,故ABx|2x3. 由几何概型知,在集合A中任取一个元素x, 解析答案 命题点1 与平面图形面积有关的问题 题型二 与面积有关的几何概型 解析答案 解析 由图形知C(1,2),D(2,2), 命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题 例3 (2014重庆)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王 在早上7:307:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是 等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_. 解析答案思维升华 解析 设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x分钟,第y分钟, 根据题意可画出图形,如图所示, 则总事件所占的面积为(5030)2400. 小张比小王至少早5分钟到校表示的事件 A(x,y)|yx5,30x50,30y50, 思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要 时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结 果构成的平面图形,以便求解. 思维升华 (1)在区间,内随机取出两个数分别记为a,b,则函 数f(x)x22axb22有零点的概率为_. 解析 由函数f(x)x22axb22有零点, 可得(2a)24(b22)0,整理得a2b22, 如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点, 试验的全部结果构成的区域为(a,b)|a,b, 其面积S(2)242. 事件A表示函数f(x)有零点,所构成的区域为M(a,b)|a2b22, 即图中阴影部分,其面积为SM423, 跟踪训练2 解析答案 解析答案 解析 如图,平面区域1就是三角形区域OAB,平面 区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD, 故由几何概型的概率公式, 例4 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中 心,在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P,则点P到点O的距离 大于1的概率为_. 题型三 与体积有关的几何概型 解析答案思维升华 求解与体积有关问题的注意点 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间) 以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件 去求. 思维升华 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,有一动点在此长方体内随机运动 ,则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_. 跟踪训练3 解析答案返回 易错警示系列 典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这 三条线段能构成三角形的概率. 易错分析 不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算概率 . 易错警示系列 16.混淆长度型与面积型几何概型致误 温馨提醒解析答案返回易错分析 规范解答 解 设x、y表示三段长度中的任意两个. 因为是长度,所以应有0x1,0y1,0xy1, 即(x,y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点, 如图所示.6分 要形成三角形,由构成三角形的条件知 故图中阴影部分符合构成三角形的条件.10分 温馨提醒解析答案 温馨提醒 解决几何概型问题的易误点: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型,导致错误. (2)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否具有等可能性, 导致错误. 返回 温馨提醒 思想方法 感悟提高 1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还 是无限个. 2.转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对 应,然后利用几何概型概率公式. (1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个 变量放在坐标轴上即可; 方法与技巧 (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序 实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建 立与面积有关的几何概型; (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组 成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关 的几何概型. 方法与技巧 1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键; 2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响 所求结果. 失误与防范 返回 练出高分 123456789101112131415 1.(2014湖南改编)在区间2,3上随机选取一个数X,则X1的概率为 _. 解析 在区间2,3上随机选取一个数X, 解析答案 123456789101112131415 解析答案 3.已知ABC中,ABC60,AB2,BC6,在BC上任取一点D, 则使ABD为钝角三角形的概率为_. 解析 如图,当BE1时,AEB为直角, 则点D在线段BE(不包含B、E点)上时,ABD为钝角三角形; 当BF4时,BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C、F点)上时, ABD为钝角三角形. 123456789101112131415 解析答案 解析 如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示 的区域D,且区域D的面积为4, 而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的 区域.易知该阴影部分的面积为4. 123456789101112131415 解析答案 5.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行,则其 恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为_. 解析 由题意可知,三角形的三条边长的和为5121330, 而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行, 则它爬行的区域长度为3101124, 123456789101112131415 解析答案 6.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆 心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 _. 123456789101112131415 解析答案 如图,由题意知,在矩形ABCD内任取一点Q(m,n), 点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率, 易知直线mn恰好将矩形平分, 123456789101112131415 解析答案 解析 半圆域如图所示: 123456789101112131415 解析答案 9.随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P,则点P到三个顶点的距离都 不小于1的概率是_. 解析 由题意作图,如图 123456789101112131415 解析答案 10.已知向量a(2,1),b(x,y). (1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足ab1 的概率; 解 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次, 所包含的基本事件总数为6
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号