课题：1.1.2 等腰三角形 教学目标：1探索发现猜想证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；3在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；4在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉.教学重点与难点：重点：经历“探索发现一一猜想证明”的过程，能够用综合法证明等腰（边）三角形的一些结论.难点：万事开头难寻找等腰三角形中的等量线段.课前准备：教师：几何画板课件；等腰三角形纸模。学生：每生准备至少三张等腰三角形纸片教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：用等腰三角形的美（对称性）引入新课课件展示图片： 世界贸易中心一号楼 武汉天兴洲长江大桥（世界上跨度最大的公铁两用斜拉桥）崇圣寺（以“三塔”著称）埃及金字塔引出问题：（出示几何画板课件：等腰三角形定点A可拖动，但无论怎样拖动依然是等腰三角形。）问题一：等腰三角形以它那对称、和谐、庄重、典雅之美成为我们数学殿堂的一枚瑰宝，现实生活中有许多建筑要设计成等腰三角形的形状，那么你对等腰三角形有哪些了解？问题二：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?处理方式：问题一：回答要点：1.等腰三角形的两腰相等；2.等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；3.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合；教师组织学生回答问题，并对学生的语言进行规范，除了以上要点，学生回答“等腰三角形的内角和的内角和为180”等普通三角形也具备的性质，教师也要予以肯定，还有一点那就是等腰三角形具有轴对称性，这一点学生如果想不到教师要进行提醒，因为这一点在下面的教学中有助于开发学生的思路。问题二利用问题一引导学生回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题二。设计意图：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。二、探究学习，感悟新知活动内容1：想一想，做一做问题：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：问题一：你可能得到哪些相等的线段？问题二：你如何验证你的猜测？问题三：你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；问题四：还可以有哪些证明方法？处理方式：先安排学生在自己的等腰三角形纸片中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，然后进行直观猜测、测量验证。可能有的学生会借助等腰三角形的轴对称性得出比较一般的结论，如对称轴两边的所有“对应”线段都相等；或在ABC中，AB=AC，D为AC上任意一点，连接BD，在ABC中总存在一条过点C的线段与BD相等。也可能有学生以角平分线、中线、高线等特殊线段为对象进行思考，如将这些线段分为几个情况进行研究：两底角的平分线；顶角的平分线与底角的平分线；两腰上的中线；一腰上的中线与底边上的中线；两腰上的高线；一腰上的高线与底边上的高线。教师首先应当鼓励学生独立思考、大胆猜想，然后组织学生进行交流，在交流时可以利用几何画板针对以上情况进行验证，在充分交流的基础上，梳理出若干需要证明命题，并让学生分组进行证明。以“等腰三角形两底角的平分线相等”为例:如图：利用几何画板制作课件，绘制等腰ABC，BD和CE是ABC的角平分线拖动点A或点C，会改变ABC的大小，但不会它始终都是等腰三角形，同时可以测量出BD和CE始终相等。通过学生的自主探究和同伴的交流，以及几何画板实验，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等并对这些命题给予多样的证明。为提高课堂效率，可对以上三种情况进行分组证明，学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书。对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，可运用下面的证明方法：已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD和CE是ABC的角平分线求证：BD=CE证法1：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)1=ABC，2=ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)对于“等腰三角形腰上的中线相等”，可运用下面的证明方法：已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD和CE是ABC两腰上的中线求证：BD=CE证明：AB=AC，（已知）ABC=ACB(等边对等角)BE=AB，CD=AC，且AB=ACBE = CD在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，BE = CDBDCCEB(SAS)BD=CE(全等三角形的对应边相等) 对于“等腰三角形两腰上的高线相等”，可运用下面的证明方法：方法一：已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD和CE是ABC两腰上的高线求证：BD=CE证明：AB=AC，（已知）ABC=ACB(等边对等角)BD和CE是ABC两腰上的高线CEB=BDC=90（垂直的定义）在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，CEB=BDCBDCCEB(AAS)BD=CE(全等三角形的对应边相等)方法二：已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD和CE是ABC两腰上的高线求证：BD=CE证明：BD和CE是ABC两腰上的高线AEC=ADB=90（垂直的定义）在AEC和ADB中，A=A，AB=AC，AEC=ADBAECADB (AAS)BD=CE(全等三角形的对应边相等)在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。设计意图：让学生再次经历“探索发现猜想证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。活动内容2：经典例题 变式练习问题：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?处理方式：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等如果是三等份、四等份结果如何呢?从而引出“议一议”。由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。分析：在等腰三角形ABC中，如果ABD=ABC，那么BD=CE这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似证明如下：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)又ABD=ABC, ACE=ACB,ABD=ACE在BDC和CEB中，ABD=ACE，BC=CB，ACB=ABC,BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)如果在ABC中，AB=AC, ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE也是成立的因为AB=AC，所以ABC=ACB，利用等量代换便可得到ABD=ACE，BDC与CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE由此我们可以发现：在ABC中，AB=AC，ABD=ABC，ACE=ACB，就一定有BD=CE成立也可以更直接地说：在ABC中，AB=AC，ABD=ACE，那么BD=CE教师归纳思想方法：以上证明都由特殊结论猜想出了一般结论请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言分析：在ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE由此我们得到了一个更一般的结论：在ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE证明如下：AB=AC又AD=AC，AE=AB，AD=AE在ADB和AEC中，AB=AC，A=A，AD=AE，ADBAEC(SAS)BD=CE(全等三角形的对应边相等)一般结论也可更简洁地叙述为：在ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE思想方法归纳：这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的设计意图：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。活动内容3：拓展延伸，探索等边三角形性质问题：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60.处理方式：安排学生独立完成该命题的证明。已知：如图，ABC中，AB=BC=AC求证：A=B=C=60.证明：在ABC中，AB=AC，B=C(等边对等角) 同理：C=A，A=B=C（等量代换） 又A+B+C180（三角形内角和定理），A=B=C60设计意图：以此命题的证明再次规范学生的证明过程。活动内容4：小试身手问题：如图,已知ABC和BDE都是等边三角形.求证:AE=CD处理方式：.在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。学生解题，一生板书后进行代表讲解，校正答案.设计意图：设计本部分，使学生在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。三、练习巩