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第4讲 简单的线性规划 考纲要求考点分布考情风向标 1.会从实际 情境中 抽象出二元一次不 等式组. 2.了解二元一次不 等式的几何意义, 能用平面区域表示 二元一次不等式组. 3.会从实际 情境中 抽象出一些简单 的 二元线性规划问 题,并能加以解决 2011 年新课标 卷第 14 题考查 简 单线 性规划求截距的最小值; 2012 年大纲卷第 14 题考查简 单 线性规划求截距的取值范围; 2013 年新课标 卷第 14 题考查 简单线 性规划求截距的最大值 ; 2014 年新课标 卷第 11 题考查 已知线性规划截距的最小值, 求 参数; 2015 年新课标 卷第 15 题考查 简单线 性规划求截距的最大值 1.线性规划是高考 的重点和热点,本 节复习过 程中,解 题时 要注重目标函 数的几何意义的应 用. 2.准确作图是正确 解题的基础,解题 时一定要认真仔细 作图,这是解答正 确的前提 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,直线 l:AxByC0 把直角坐标平面分成三 个部分: AxByC0 直线 l 上的点(x,y)的坐标满足_; 直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 AxBy C0; 直线 l 另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 Ax ByC0. 所以,只需在直线 l 的某一侧的平面区域内,任取一特殊 点(x0,y0),计算Ax0By0C的值的正负,即可判断不等式表 示的平面区域. (2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x,y),把它 的坐标(x,y)代入 AxByC 所得到实数的符号都相同,所以 只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0By0C 的符号即可判断不等式表示的平面区域. 名称意义 目标函数欲求最大值或_的函数 zAxBy 约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 可行解满足线性约束条件的解 可行域由所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 线性规划问题 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值 或_问题 2.线性规划相关概念 最小值 最小值 1.写出能表示如图 6-4-1 所示的阴影部分的二元一次不等 式组(含边界):_. 图 6-4-1 )则z2x3y 的最小值是( A.7 C.5 B.6 D.3 解析:作出不等式组表示的可行域,如图D22(阴影部分). 图 D22 易知直线 z2x3y 过点 C 时,z 取得最小值. zmin23346.故选B. 答案:B 实数 m 的取值范围是_. 1 5m10 4.若点(1,3)和点(4,2)在直线 2xym0 的两侧,则 考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1:(1)设集合 A(x,y)|x,y,1xy 是三角形的三边 长 ,则集合 A 所表示的平面区域( 不含边界的阴影部分) 是 () ABCD 思维点拨:由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来 确定二元一次不等式组,然后求可行域. 解析:由于 x,y,1xy 是三角形的三边长, 答案:A 故选 A. 图 D23 答案:4 A.a5B.a7C.5a7D.a5 或 a7 答案:C 【规律方法】本题以三角形、集合为载体来考查线性规划 问题,由于是选择题,只要找出正确的不等式组并作出相应的 直线即可看出答案,这就是做选择题的特点. 考点 2 线性规划中求目标函数的最值问题 解析:如图 D24,先画出可行域, 图 D24 答案:C 答案:4 图 D25 【规律方法】利用线性规划求最值,一般用图解法求解, 其步骤是:在平面直角坐标系内作出可行域; 考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; 确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直 线,从而确定最优解; 求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小 值. 【互动探究】 则zx2y的最大值为( ) A.8B.7C.2D.1 图 D26 答案:B 1 考点 3 非线性目标函数的最值问题 图 6-4-2 答案:3 图6-4-3 【规律方法】用线性规划求最值时,要充分理解目标函数 的几何意义,只有把握好这一点,才能准确求解,常见的非线 性目标函数的几何意义如下: 【互动探究】 解析:不等式组表示的区域如图 D27,则|OM|的最小值就 是坐标原点O 到直线xy20 的距离,即 图D27 思想与方法 利用数形结合的思想求线性规划问题中的参数 解析:(1) 在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及 所表示的平面区域,如图6-4-4 阴影部分.由图可知,当 m1 时, 函数y2x的图象上存在点(x,y)满足约 图 6-4-4 束条件,故 m 的最大值为 1. 答案:B 图6-4-5 再注意到直线 AB:xy20 与直线 BC:xy2m0 互相垂直,所以ABC 是直角三角形, 化简得:(m1)24,解得m3或m1,检验知当m 3 时,已知不等式组不能表示一个三角形区域,故舍去, 所以 m1;故选 B. 答案:B 1.利用线性规划研究实际问题的基本步骤是: (1)应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定 线性目标函数. (2)用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域 内求得使目标函数取得最值的解. (3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的 解,即结合实际情况求得最优解. 2.求目标函数的最优整数解常有两种处理方法,一种是通 过打出网格求整点,关键是作图要准确;另一种是首先确定区 域内点的横坐标范围,确定 x 的所有整数值,再代回原不等式 组,得出 y 的一元一次不等式组,再确定 y 的所有相应整数值, 即先固定 x,再用 x 制约 y. 3.非线性规划问题,是指目标函数和约束函数中至少有一 个是非线性函数.对于这类问题的考查往往以求非线性目标函 数最值的方式出现. 4.线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得. 特别地,当表示目标函数的直线与可行域的某边平行时,其最 优解可能有无数个.对于实际问题(如整点问题),还要特别对待.
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