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第六章 地下水运动中的专门问题 肖 长 来 吉林大学环境与资源学院 2009-12 Source: Adapted from Environmental Protection Agency, Office of Water Supply and Solid Waste Management Programs, Waste Disposal Practices and Their Effects on Groundwater (Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office, 1977). 主要内容 1. 非饱和带中的地下水运动 2. 地下水中的溶质运移(水动力弥散理论) 6.2 水动力弥散理论 1 水动力弥散现象及其机理 先考察一个实例。大致了解一下水动力弥散现象是怎么回事 。 例:若在一口井中瞬时注入某种浓度的一种示踪剂,则在附 近观测孔中可以观察到示踪剂不仅随地下水流一起位移,而且逐 渐扩散开来,超出了仅按平均实际流速所预期到达的范围,并有 垂直于水流方向的横向扩散,不存在突变的界面。 上述事实说明,存在一种特殊的现象。因为如果不存在这种 现象,示踪剂应按水流的平均流速移动;含示踪剂和不含示踪刑 的水的接触界面应该是突变的;示踪剂也不应公横向扩展开来, 即有一个以实际平均流速移动的直立锋面。以上事实说明,在两 种成分不同的可以混溶的液体之间存在着一个不断加宽的过渡带 。这种现象称为水动力弥散。 所谓水动力弥散就是多孔介质中所观察到的两种成分不同的可 混溶液体之间过渡带的形成和演化过程。 水动力弥散是由溶质在多孔介质中的机械弥散和分子扩散所引 起的。这是一个不稳定的不可逆转的过程。兹分述如下。 1)机械弥散 由于速度不均一所造成的物质运移现象称为机械弥散。 由于液体有粘滞性以及结合水对重力水的摩擦阻力,使得最 靠近隙壁部分的(重力)水流速度趋近于零,向轴部流速逐渐增 大,至轴部最大,孔隙的大小不一,造成不同孔隙间轴部最 大流速有差异,孔隙本身弯弯曲曲,水流方向也随之不断改 变,因此对水流平均方向而言,具体流线的位置在空间是摆 动的。 这几种现象是同时发生的,由此造成开始时彼此靠近的示 踪剂质点群在流动过程中不是一律按平均流速运动,而是不 断向周围扩展,超出按平均流速所预期的扩展范围。沿平均 速度方向和垂直它的方向上,都可以看到这种扩展现象。 2)分子扩散 分子扩散是由于液体中所含溶质的浓度不均一而引起 的一种物质运移现象。浓度梯度使得物质从浓度高的地方 向浓度低的地方运移,以求浓度趋向均一。 分子扩散服从Fick定律。即: 式中: 为该溶质在溶液中的浓度c沿方向s变化的浓度 梯度; 比例系数Dd称为扩散系数,量纲为L2T-1。在浓度低 的情况下,可以认为它是一个与浓度无关的常数。 液体在多孔介质中流动时,机械弥散和分子扩散是同时出现的 ,事实上也不可分。 事实上,“纯”机械弥散不可能存在,但分子 扩散,即使在没有水流运动的情况下也能单独存在。 当流速较大时,机械弥散是主要的;当流速甚小时,分子扩散 的作用就变得很明显。显然,机械弥散和分子扩散都会使溶质既 沿平均流动方向扩展又沿垂直于它的方向扩展。前者称为纵向弥 散,后者称为横向弥散。 除了机械弥散和分子扩散外,某些其它现象也会影响多孔介质 中溶质的浓度分布,如多孔介质中固体颗粒表面对溶质的吸附、 沉淀,水对固体骨架的溶解及离子交换等。此外,液体内部的化 学反应也可导致溶质浓度的变化。 一般来说,溶质浓度的变化会导致液体密度和粘度的变化。这 些变化反过来会影响水流状态,即流速的变化。但在通常情况下 ,这类影响不大,可以忽略。 2 水动力弥散系数 从宏观上来描述弥散现象,亦即将其定义在典型单元体(REV)上 的平均值。机械弥散也能用Fick定律来描述。 多孔介质中的分子扩散描述: IDgradc (6-40) 机械弥散描述: I一Dgradc (6-41) 水动力弥散系数D:D= D+D” (6-40) 式中: D”多孔介质中的分子扩散系数,量纲为L2T-1 ,是 二秩张量;c该溶质在溶液中的浓度; I由于分于扩散在单位时间内通过单位面积的溶质质量。 D机械弥散系数,量纲为L2T-1,也是二秩张量; I由于机械弥散造成的个单位时间内通过单位面积的溶质质量 。 D也是二秩张量。由于水动力弥散在单位时间内通过单位面 积的溶质的质量则为 II 十I-Dgradc。 如果我们选择x轴与该点处的平均流速方向一致,y轴和z 轴则与平均流速方向垂直,则上式也可以写成下列更容易 被我们理解的形式: 或 此时水动力弥散系数张量: (6-43) (6-44) (6-45) 坐标轴方向称为弥散主轴。Dxx称为纵向弥散系数,Dyy ,Dzz称为横向弥散系数。由于弥散主铀的方向依赖于流 速方向,即使在均质各向同性介质中,各点弥散主轴的方 向也会随着水流方向的改变而各不相同。 水动力弥散系数在研究地下水物质运移问题中的意义可 以和渗透系数在研究地下水运动问题中的意义相比拟,是 一个很重要的参数。通过大量在末固结的多孔介质中的实 验,得到了如图6-10所示的曲线。图中,纵坐标是从实验 室得到的纵向弥散系数DL与溶质在所研究的液相中的分子 扩散系数Dd的比值,横坐标是一个无量纲的量: 称为Peclet数。 (6-46) 其中,u为实际平均流速,d为多孔介质的某种特征长度,该 无量纲数表示实际流速和分子扩散系数相比的相对大小, Pe数愈大,表示流速相对愈大。 根据这条曲线的变化情况,大致上可以分五个区。 第I区:实际流速很小,以分子扩散为主,相当于曲线上 寻接近于常数的一段。 第II区:对应的Peclet数Pe约在0.4到5之间,曲线开始向上 弯曲,机械弥散已达到和分子扩散相同的数量级。因此, 应当研究两者的和,而不应忽略其中的任何一个。 第III区:物质运移主要由机械弥散和横向分子扩散相结合 而产生。横向分子扩散往往会削弱纵向的物质运移,实验 结果得出DL/Dda(Pe)m,a=0.5,1M1.2。 图6-10 分于扩散和水动力弥散间的关系 (据J. Bear) 第IV区:以机械弥能为主,分子扩散的作用已经可以忽略不计,但流速 尚未达到偏离Darcy定律的程度。本区相当于图中的直线部分。实验给出 于DL/DdBetPe,Bet=1.8。 第V区;仍属于机械弥散为主的区域,与第IV区的区别在于水流速度已 达到越出Darcy定律适用的范围。惯性力和紊流的影响造成纵向物质运移 的减少,曲线斜率减缓。 上述曲线说明,弥散系数和水流速度、分子扩散有关。 式中: 机械弥散系数,为一个二秩对称张量,这是它的一个分量; 多孔介质的弥散度,为一四秩张量;在饱和流动中它反映 多孔介质固体骨架的几何性质,量纲为L; u 实际平均流速,uk,um分别为它在坐标轴xk、xm上的分量; 表示水流通道形状持征的系数,无量纲; (6-47) 在微观水平上考虑相邻流线之间内分子扩散所引起的对物 质运移影响的因数,这个影响和机械弥散是不可分的。 Pe较大时,由f(Pe, d )的表达式可以看出,f(Pe, d )1。对 于大多数实际问题来说,都属于这种情形,总是假定, f(Pe, d )1。 如果在某一点上选择坐标轴,使得其中一个坐标油(如f轴) 祁该点处的平均流速方向一致(即弥散主轴),并忽略分子 扩散,f(Pe, d)1,则: (6-48) 上式中,aL,aT分别称为纵向弥散度和横向弥散度。纵向机械 弥散系数 和横向机械弥散系数 ,及 称为弥散系数的 主值。由于弥散主轴依赖于水流方向,所以除了均匀流(ux 常数,uy =uz =0)以外,一般说来即使在各向同性介质中各点 的弥散系数也各不相同,随空间位置而变化。 表6-1 典型的水动力弥散系数值 (环境质量评价,马债如、程声通等编,1990) 表6-2 典型的分子扩散系数 3 对流弥散方程及其定解条件 考虑由某种溶质和溶剂组成的二元体系。以充满液体的渗流 区内任点p为中心,取一无限小的六面体单元,各边长为 x、 y和 z,选择x轴与p点处的平均流速方向一致,来研究该单元 中溶质的质量守恒。 水动力弥散所引起的物质运移。在t时间内,由于弥散和 水流运动所引起的单元体内总的溶质质量变化量和在t时间内, 单元体内溶质的浓度所引起的该单元体中溶质质量相等。即: 上式称为对流一弥散方程(水动力弥散方程)。它右端后三项表示 水流运动(习惯地把它喻为对流)所造成的溶质运移,前三项表示 水动力弥散所造成的溶质运移。 (6-49) 如果还有化学反应或其它原因所引起的溶质质量变化,且 单位时间单位体积含水层内由此而引起的溶质质量的变化 为f,则应把它加到方程式的右端,有: 要确定一个水动力弥散问题的解,即求得浓度的分布,还 要给出下列信息: 研究空间 和时间区间0,T; 研究区域水头场的分布; 有关参数,如弥散度aL和aT等; (6-50) 定解条件。 初始条件给出初始时刻(t0)区域上的浓度分布,即: c(x,y,z,0)= c0(x,y,z) (6-51) c0是已知函数。 边界条件通常有二种类型。一种是已知浓度的边界条件,即 : 0tT 式中, 为研究区的边界, 是已知函数。 另一种是已知单位时间内通过边界单位面积的溶质质量的 边界条件。在三维条件下,形式复杂,不易理解。 (6-52) 兹以一维问题的几种常见例子具体说明如下。 (1) 多孔介质a的边界外为另一多孔介质b,根据单位时间通过 边界的溶质的质量要保持连续的原则,当渗透速度为v时 有: (2) 如边界为隔水边界,则通过边界的流量和溶质的量均为 零,由上式 及v0 得边界 G2 上有边界 条件: (6-54) (6-53) 4 一维弥散问题的解 考虑流速方向与x轴方向一致的半无限一维均匀流的情况 ,示踪剂连续注入,纵向弥散系数DxxDL在均匀流情况 下不随坐标x而变化,uxu为常数,一维情况下(6-49)式 化为: 同时有定解条件: (6-55) (6-56) 当x/aL足够大时,该定解问题的解为 利用(6-57)式可以求得任意时刻t,任意距离x处的相对浓度cR。 因为示踪剂浓度c0是已知的,即可求得该处的浓度c(x, t)。反之, 也可利用实验室或野外的一维弥散的实际观测资料,求出纵向弥散 系数DL,因为流速u已知,也可以算出纵向弥散度aL。 根据对流弥散方程,在适当的初始条件、边界条件下求得的 解,可以用来预报地下水中污染物的时、空分布。其结果和实验室 的实验结果,一般也拟合得很好。 但应用于野外试验时,却发现利用对流弥散方程反求得的弥 散度值要比实验室实验所得的值大几个数量级,而且弥散度值看来 和污染物分布的范围有关,随着它的增大而增大(称为尺度效应)。 (6-57)
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