主要介绍关于数字采样系统的基本理论，在后续课程计算 机控制技术中将应用该理论。 基本概念 1.采样过程及采样定理 2.信号的恢复 3.数学基础：Z变换 数学模型数学模型 1.差分方程 2.脉冲传递函数 离散系统的时域分析 1.稳定性 2.瞬态质量 3.稳态误差 第八章第八章 离散控制系统离散控制系统 8.1 引言 前几章，我们讨论的都是连续控制系统，其输入输出 都是时间的连续函数。采用微分方程来描述。 近年来，随着电子技术，特别是计算机技术的发展 ，数字控制器逐渐取代模拟控制器，使绝大多数的精密 控制系统和复杂的过程控制走向“数字化数字化”。其精度、 功能是模拟器件所无法比拟的。因此，作为分析和设计 数字控制系统的理论，离散控制系统理论近年来获得飞 速发展。 本章重点介绍线性离散系统的控制理论方法。离散 系统与连续系统相比，虽然在本质上有所不同，但由于 都属于线性系统，分析方法有很大的相似性，连续系统 的许多概念都可以推广到线性离散系统。 8.1.1 8.1.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 离散控制是一种断续控制方式，在实际系统 中，都是人为的将连续信号离散化，称为采样采样。 因此需要采样器：开关装置机械的或机电的 ，定时开关；或AD转换器。 通过采样器，将连续模拟信号变为脉冲序列或 数字信号(二进制数)，送到控制器或计算装置， 对被控对象施加断续或阶梯状的控制等，故离散 控制又称为采样控制。 早期的采样控制的例子是对某些大惯性或大延 迟的系统的控制。下图为工业炉温自动控制系统 。惯性延迟！ +- K 给定误差炉温 放大器,执行电机阀门 炉子 开度转速 炉温自动控制系统（模拟） K大时，造成往复 调节，形成炉温大 幅度振荡； K小时，系统迟 钝，死区大，虽不 振荡，但调节时间 长，误差大。 1 1 很大，几秒到几很大，几秒到几 十秒，十秒，T T 1 1 也很大也很大 。 K 电动机电动机 减速器减速器 燃燃 料料 测温 电阻 炉子炉子 给定电位器给定电位器 e(t) 等待时间， 电机不转，调 节过头的现象 受到制约，K 可取大值，系 统仍稳定。 e*(t)e(t ) 采样器 e*(t) t 0 2TT3T4T e(t) t 0 采样过程采样过程 K1 电动机 减速器 给定电位器给定电位器 炉子炉子 燃 料 测温 电阻 e*(t) 检流计 电位器 凸轮 e(t) +- K 给定 e 炉温 放大器,执行电机阀门 炉子 开度 转速 e* 炉温自动控制系统（采样控制） 上述例子，通过机电开关将模拟量变为脉冲上述例子，通过机电开关将模拟量变为脉冲 序列的离散控制，称为序列的离散控制，称为脉冲控制系统脉冲控制系统。这种早。这种早 期的控制装置仍属于模拟控制装置，功能和精期的控制装置仍属于模拟控制装置，功能和精 度均受到限制。现在基本都已经被数字控制器度均受到限制。现在基本都已经被数字控制器 取代。取代。 特别是微型计算机的使用，其强大的逻辑判断 功能和高速运算能力，将许多模拟控制器无法实现 的功能得以用软件实现。同时它具有很好的通用性 ，可以很方便的改变控制规律。尤其当采用计算机 控制多个生产过程时，上述优点更突出。 +- 数字控 制器 D/A 被控 对象 测量及变送 r(t)e(t) e*(t) c(t)u*(t) A/D u(t) 计算机控制系统框图（数字控制系统） 离散系统的构成，关键是含有采样器件采样器件。一个实际的 离散物理系统，总是离散部分和连续部分并存，两种不 同类型的信号相互转换、传送。一般将两部分单独表示 出来，如图所示。把离散的特点集中在采样器上，对信离散的特点集中在采样器上，对信 号进行调制号进行调制；连续部分恢复信号并作用于对象上连续部分恢复信号并作用于对象上。 8.1.2 8.1.2 离散系统的定义及常用术语离散系统的定义及常用术语 1.1.离散系统的几个定义离散系统的几个定义 离散系统：当系统中只要有一个地方的信号是脉冲序 列或数码时，即为离散系统。信号仅定义在离散时间上。 连续部分 r(t)r*(t ) c(t) 数字控制系统：数字控制系统：离散信号是数码而不是脉冲序列。特 点：时间上离散，幅值上用量化的二进制整数表示。使用 ADC，可用一个理想的开关表示。 脉冲控制系统：离散信号是脉冲序列。特点：时间上离散信号是脉冲序列。特点：时间上 离散，幅值上任意，代表强度。离散，幅值上任意，代表强度。 000 001 010 011 100 101 T 2T8T 0T 000 1T 010 2T 010 3T 011 4T 100 5T 101 开环采样系统：当采样器在闭合环路之外，或 系统本身就不存在闭环回路时，称为开环采样系统。 闭环采样系统: 指在闭合回路中含有采样器的指在闭合回路中含有采样器的 系统。系统。 线性采样：当采样器输入与输出信号幅值幅值之间 存在线性关系时，称为线性采样。 线性采样系统：当采样器和系统其余部分都具 有线性特性时，称为线性采样系统。 2. 2.离散系统常用术语离散系统常用术语 采样 把连续信号变成脉冲序列（或数码）的过程，叫采样。 采样器采样器 实现采样的装置叫采样器。实现采样的装置叫采样器。（机电开关，（机电开关，A/DA/D模数转换器）模数转换器） 周期采样 采样开关等间隔开闭。 同步采样同步采样 多个采样开关等周期一起开闭。多个采样开关等周期一起开闭。 非同步采样 所有采样开关等周期，但不同时开闭。 多速采样多速采样 各采样开关以不同周期开闭。各采样开关以不同周期开闭。 随机采样 开关动作随机，没有周期性 保持器 从离散信号中，将连续信号恢复出来的装置称为保持器 。（低通滤波器，D/A数模转换器） 1.离散系统信号转换的两个特殊环节 8.1.3 8.1.3 离散系统的特点离散系统的特点 采样器 + - 数字控 制器 保持器 被控 对象 反馈元件 r(t)e(t) e*(t) c(t) u*(t) u(t) 滤除高次谐波 ，减少噪声，提高 控制质量。但有些 系统也可以不用。 其检测部分具有较高的灵敏度； 离散信号的传递，可有效地抑制噪声，从而提高了离散信号的传递，可有效地抑制噪声，从而提高了 系统的抗干扰能力，同时信号传递和转换的精度较高系统的抗干扰能力，同时信号传递和转换的精度较高 ； 数字控制器软件编程灵活，可方便的改变控制规律 ，控制功能强； 可用一台计算机控制若干个系统，提高了设备的利可用一台计算机控制若干个系统，提高了设备的利 用率，经济性好；用率，经济性好； 对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可 以引入采样的方式稳定。 2.离散系统的优点 在很多场合，离散系统结构上比连续系统简单； 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理 8.2.1 8.2.1 采样过程的数学描述采样过程的数学描述 采样的多种方式中，最简单普遍的是周期采样。 e(t)e*(t) t 0 e(t) 把连续信号转换成离散信号的过程，叫做采样过程采样过程。 如下图所示。 t 0 T 2T 3T4T e*(t) 由于1,表示收敛域为单位圆外部。若回到s平 面，则有 故在s平面，则有1(t)的拉氏变换收敛域为s平面右半部分。可以看 到1(t)和T(t)有相同的z变换（因为有相同的离散函数）。 例例8-4 8-4 求求 的的z z变换变换 E E( (z z) )。 上述级数收敛的条件|zeaT|1。若回到s平面，则有 故在故在s s平面，则有平面，则有e e-at -at拉氏变换收敛域为 拉氏变换收敛域为=-a=-a的的右边右边 部分。部分。 例例8-5 8-5 求序列函数求序列函数e e( (k k)=)=a a k k 的的z z变换变换 。 上述级数收敛的条件|az-1|1。若回到s平面，则有 故在故在s s平面，则收敛域为平面，则收敛域为=1/Tlna=1/Tlna的的右边部分。右边部分。 例8-6 求e(t)=t的z变换 。 级数求和法是按定义求收敛级数的方法，其一般项 e(kT)z-k 的物理意义是：e(kT)表征采样脉冲的幅值， z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。即包含的量值的信 息，又包含的时间信息。 2. 2. 部分分式法部分分式法 连续函数e(t)与其拉氏变换 E(s)是一一对应的。 通过部分分式法，将E(s)展开成部分分式，每一个分 式都对应一个典型的时间函数典型的时间函数，其z变换是已知的，即 可写出对应的z变换 E(z)。 解： 例8-7. 求 的连续连续 函数e(t)的z变换变换 。 也可由拉氏变换 E(s)，通过对照表(P429附表1)，直接写出 对应的z变换 E(z)。 常用函数的z变换 解： 例8-8.求 e(t)=sint 的z变换。 8.4.3 8.4.3 z z变换的性质变换的性质 1. 1. 线性定理线性定理 2. 2. 实数位移定理（实数位移定理（ 滞后定理、超前定理滞后定理、超前定理） 3. 3. 复数位移定理复数位移定理 4. 4. 初值定理初值定理 5. 5. 终值定理终值定理 6. 6. 卷积和定理卷积和定理 设： a为常数，则： 函数线性组合的函数线性组合的z变换，等于各函数变换，等于各函数z变换的线性组合变换的线性组合 。 1.1.线性定理线性定理 例8-9 求双曲正弦函数e(t)=shat的 z 变换 。 设在tk时, r(k-n)T=0 则有： 式中： 两个离散函数卷积的z变换，等于两个函数z变换的乘 积。 解: 令 E(z)=E1(z)E2(z) 例例8-15 8-15 设设Z Z变换函数为变换函数为: : 求求E E( (z z) ) 的原函数的原函数e e( (t t) ) 。 由卷积和定理 8.4.4 8.4.4 z z反变换反变换 同拉氏变换一样，对于离散系统，通常在z域计算后，需要 用反变换确定时域解。 z z反变换反变换：已知z变换表达式E(z)e(kT)的过程，即 只能求出序列的表达式只能求出序列的表达式，可以求出可能的连续函数之一可能的连续函数之一。 求解方法：长除法求解方法：长除法 、部分分式法、部分分式法 、留数法留数法 * * 。 1 1、长除法（幂级数法）、长除法（幂级数法） 要点：要点：将E(z)用长除法变化为降幂降幂排列的幂级数，然后与z变换 定义式对照求出原函数的脉冲序列。 Z Z反变换为反变换为 例例8-168-16 求求的的z z反变换反变换 此方法比较方便，通常计算几项就可以了，但求通项比较难 。 解： 10z z23z + 2 10z1 10z 30 + 20z1 30 20z1 +30z2 30 90z1 + 60z2 70z1 60z2 +70z3 + 2. 2. 部分分式法部分分式法 步骤： 先将变换式写成，展开成部分分式， 两端乘以z 查z变换表 例例8-178-17 求的z反变换。 解：解： 与长除法结果一致。 例例8-18 8-18 求的z反变换。 解：解： Z Z Z Z -1-1 采样 3. 3.反演积分法反演积分法( (留数法留数法 ) ) * * 由z变换的定义 两边乘以zk-1 设为z平面上包围E(z)zk-1全部极点的任意封闭曲线，沿逆 时针方向对两边进行线积分，由复变函数理论可知，e(kT)项的 积分为e(kT) 2j,其他项均为零，即 为函数E(z)zk-1在极点zi处的留数。 曲线可以是包含E(z)zk-1全部极点的任意封闭