第3讲讲 导数与函数的极值、最值 考试试要求 1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件， A级要求；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上 函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B 级要求. 知 识 梳 理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续 且f(x0)0， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 ； 如果在x0附近的左侧f(x) 0，右侧f(x) 0，那么f(x0) 是极小值. 极大值 (2)求可导函数极值的步骤： 求f(x)； 求方程的根； 检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号.如果左正 右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正 ，那么f(x)在这个根处取得. f(x)0 极大值 极小值 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a ，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小 的一个是最小值. f(a)，f(b) 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大.( ) (3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条 件.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不 一定是极小值.( ) 2.(苏教版选修22P34T8(2)改编)函数f(x)x33x22在区间 1，1上的最大值是_. 解析 f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2. f(x)在1，0)上是增函数，f(x)在(0，1上是减函数. f(x)maxf(x)极大值f(0)2. 答案 2 3.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为 _. 解析 由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数 符号左负右正. 答案 1 4.(2015陕西卷)函数yxex在其极值点处的切线方程为 _. 5.已知f(x)x3ax2(a6)x1既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为_. 答案 (，3)(6，) 考点一 利用导数研究函数的极值问题 微题型1 求不含参函数的极值 (1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值. 当x(0，5)时，f(x)0，故f(x)在(0，5)上为减函数； 当x(5，)时，f(x)0，故f(x)在(5，)上为增函数. 由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，f(x)无极值. 规律方法 运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤： (1)先求函数yf(x)的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；(2)求 方程f(x)0的根；(3)检查导 数f(x)在方程根左右的值的符号. 微题型2 求含参函数的极值 【例12】 (2015银川一中一模)求函数f(x)ln xax，aR 的极值. 规律方法 运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤： (1)先求函数yf(x)的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根；(3)检查导 数f(x)在方程根左右的值 的符号. 微题型3 已知极值求参数 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 规律方法 已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导 数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程.需注意 的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点 处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检 验，看是否符合函数取得极值的条件. 【训练1】 设函数f(x)ax32x2xc(a0). (1)当a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值； (2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围. 考点二 利用导数解决函数的最值问题 (1)当x1时，f(x)取得极值，求a 的值； (2)求f(x)在0，1上的最小值. 规律方法 (1)如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求闭区间 上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值 可不作判断，直接与端点的函数值比较即可.(3)当连续函数 的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值. 【训练2】 (2014江西卷)已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a 0.(1)当a4时，求f(x)的单调递 增区间； (2)若f(x)在区间1，4上的最小值为8，求a的值. 考点三 利用导数研究生活中的优化问 题【例3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设 该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假 设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方 米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成 本为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该 蓄水池的 体积最大. 规律方法 求实际问题 中的最大值或最小值时，一般是 先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域 ，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况 相结合.用导数求解实际问题 中的最大(小)值时，如果函 数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该 极值点也就是最值点. (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大. x(3，4)4(4，6) f(x)0 f(x)单调递 增极大值42单调递 减 由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是 最大值点. 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得 的利润最大. 思想方法 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数 的变化情况，直观而且条理，减少失分. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时， 要讨论参数的大小. 3.可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且 在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 4.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内 绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值. 易错防范 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题 直观且有条理，减少失分的可能. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通 过认真比较才能下结论.