. . . .最 短 路 径第二师华山中学初中数学组冯丽华2015/9/30最短路径教学设计 一、内容和内容解析 1、内容 利用轴对称探究简单的最短路径问题。 2、内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体，开展最短路径问题的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化“两点之间，线段最短”问题。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。二、目标和目标解析1、目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。2、目标解析（1）学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；（3）能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求线段和最短；（4）在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验明显不足，特别是面对实际背景的极值问题无从下手。对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最短，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求点。但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最短，一些学生感到茫然，找不到解决问题的方法。在证明最短时，需要在直线上任选一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和学生想不到，不会用。教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”。在证明“最短”时，教师可告诉学生证明“最大”“最小”问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较证明。由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（点C除外）都成立。 本节课的教学难点是：利用轴对称将同侧线段和最短问题转化为异侧线段和最短问题，并能进行简单推理论证。四、教学支持条件分析在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。教具准备：直尺、几何画板，ppt五、教学过程设计环 节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】：看到课题，回忆学过哪些最短路径问题？2.以上两个问题，我们称为“最短路径”问题。3、小试身手已知:如图,点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？A B两点之间，线段最短直线外一点与直线上各点所连线段中，垂线段最短。从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。二探究新知1.提出问题【故事引入】：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”。认真读题，仔细思考。二探究新知2.分析问题（1）.【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？（2）【度量】：请尝试找出符合条件的点C；分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC，记录在题目旁边。（3）.【展示】：巡视发现学生不同的作法（尽可能多），投影，拍照。（4）.【追问】：上述几种方法中，哪一种作法中的点C能使得AC+BC较短？将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。【展示】：学生展示并能简单说明思路。作法1： 作法2：作法3：通过“度量”的数据得出结论。【小结】：发现第3种作法是较短的，第1种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等。第2种作法是利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，利用“垂线段最短”，得到AC最短，但不能确定AC+BC是最短的。学生主动探索，充分发挥学生的主动性。展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。二探究新知3.解决问题（1）【转化】用第3种作法的同学，你们是怎样找到的点C？（2）【比较】在以上几种方法中，利用轴对称找出的点C能使得AC+BC较短，但在直线l上有无数个点，也就有无数条路线，此时点C还能使AC+BC最短吗？通常我们要在直线上任另取一点P（与点C不重合），说明AC+BCAP+BP。（3）【几何画板】下面我们可以借助数学工具几何画板来进一步验证一般性。老师动手操作，并回忆作图步骤，验证对于第3种情况来说是最短的路径。【注：通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。】利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称的“桥梁”作用，若直线l上任意一定（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小。认真观察老师的做法，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点P（不与点C重合）通过度量可以得出AC+BC最短。并观察变化趋势。让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。（4）.【推理论证】：（1）独立纠正图形（2）请两位同学全班交流推理过程（3）师生共同完成板书（4）学友向学师口述证明过程。1.独立纠错2.兵教兵进一步推理论证，加强逻辑性，培养学生良好的思维习惯。三总结提高（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？用到了转化的数学思想。归纳：通过梳理“将军饮马问题“的解题思路，帮助学生归纳解决实际问题的探究过程，让学生充分体会轴对称变换可以将不共线的两条路径转化到一条直线上。四拓展应用【问题】：如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩。请你帮他确定这一天的最短路线。【小结】：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择。【教师寄语】：现实生活中需要我们寻找简单、实用的方法，但学习无捷径，希望大家勤于思考，多多动脑，用数学知识武装自己，做一位有智慧的小将军。作两次轴对称，找到点B、点C，连接BC与两直线的交点E、F，AE+EF+FC即为所求路径。学以致用及时复习所学的知识。五板书设计13.4 最短路径六、目标检测设计题目1、（课堂检测）如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩。请你帮他确定这一天的最短路线。设计意图：学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称，找到点B、点C，连接BC与两直线的交点E、F，AE+EF+FC即为所求路径。在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择。题目2、（课后检测）如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径设计意图：本题中点P点Q是定点，线段PQ长度不变，作点P或点Q的对称点即可。连接PQ交直线与C,此时PQ+PC+QC最短。本题难度适中，适合作为课后练习，是学生跳一跳能摘到的果子，达到复习本节课知识方法，又为后续学习打下基础。1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人。努力过后，才知道许多事情，坚持坚持，就过来了。4. 岁月是无情的，假如你丢给它的是一片空白，它还给你的也是一片空白。岁月是有情的，假如你奉献给她的是一些色彩，它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力，当有一天蓦然回首时，你的回忆里才会多一些色彩斑斓，少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。学习参考