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方案设计1. (2018福建 A 卷10 分)如图,在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN,某人利用旧墙 和木栏围成一个矩形菜园 ABCD,其中 ADMN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了 100 米木栏(1)若 a=20,所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米,求所利用旧墙 AD 的长;(2)求矩形菜园 ABCD 面积的最大值【分析】(1)设 AB=xm,则 BC=(1002x)m,利用矩形的面积公式得到 x(1002x)=450,解 方程得 x1=5,x2=45,然后计算 1002x 后与 20 进行大小比较即可得到 AD 的长;(2)设 AD=xm,利用矩形面积得到 S=x(100x),配方得到 S=(x50)2+1250,讨论: 当 a50 时,根据二次函数的性质得 S 的最大值为 1250;当 0a50 时,则当 0xa 时,根据二次函数的性质得 S 的最大值为 50aa2【解答】解:(1)设 AB=xm,则 BC=(1002x)m, 根据题意得 x(1002x)=450,解得 x1=5,x2=45, 当 x=5 时,1002x=9020,不合题意舍去;当 x=45 时,1002x=10, 答:AD 的长为 10m;(2)设 AD=xm,S=x(100x)=(x50)2+1250,当 a50 时,则 x=50 时,S 的最大值为 1250;当 0a50 时,则当 0xa 时,S 随 x 的增大而增大,当 x=a 时,S 的最大值为 50aa2, 综上所述,当 a50 时,S 的最大值为 1250;当 0a50 时,S 的最大值为 50aa2【点评】本题考查了二次函数的应用:解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值 时,一定要注意自变量 x 的取值范围洗手,那还不简单。但是,并非每个人都知道正确的洗手方法。我们在数名家长中调查时发现,大多数家长都会叮嘱孩子常洗手,但对于正确的洗手方法和洗手时间的长短,并不太了解。很多家长这样理解洗手:饭前便后要洗手、每次用流动水冲洗等。92.(2018福建 B 卷10 分)空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD,已知木栏总长为 100 米(1)已知 a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了 100 米木栏,且围成的矩形菜园面积为450 平方米如图 1,求所利用旧墙 AD 的长;(2)已知 0 50,且空地足够大,如图 2请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使 得所围成的矩形菜园 ABCD 的面积最大,并求面积的最大值 图1 图2【分析】(1)按题意设出 AD,表示 AB 构成方程;(2)根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关 系【解答】解:(1)设 AD=x 米,则 AB=米依题意得,解得 x1=10,x2=90a=20,且 xax=90 舍去利用旧墙 AD 的长为 10 米(2)设 AD=x 米,矩形 ABCD 的面积为 S 平方米如果按图一方案围成矩形菜园,依题意 得:S=,0xa0 50xa50 时,S 随 x 的增大而增大 当 x=a 时,S 最大=50a如按图 2 方案围成矩形菜园,依题意得S=,ax50+当 a25+50 时,即 0a时, 则 x=25+时,S 最大=(25+)2=当 25+a,即时,S 随 x 的增大而减小x=a 时,S 最大=综合,当 0a时, ()=,此时,按图 2 方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米 当时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等 当 0 a 时 ,围成长 和宽均为 ( 25+ )米的 矩形菜园 面积最 大,最 大面积 为 平方米;当时,围成长为 a 米,宽为(50)米的矩形菜园面积最大,最大面积为()平方米【点评】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类 讨论变量大小关系3.(2018湖南怀化10 分)某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召,绿化校园,计划购 进 A,B 两种树苗,共 21 棵,已知 A 种树苗每棵 90 元,B 种树苗每棵 70 元设购买 A 种树苗 x棵,购买两种树苗所需费用为 y 元(1)求 y 与 x 的函数表达式,其中 0x21;(2)若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案 所需费用【分析】(1)根据购买两种树苗所需费用=A 种树苗费用+B 种树苗费用,即可解答;(2)根据购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量,列出不等式,确定 x 的取值范围,再根据(1)得出的 y 与 x 之间的函数关系式,利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合 算的方案【解答】解:(1)根据题意,得:y=90x+70(21x)=20x+1470, 所以函数解析式为:y=20x+1470;(2)购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量,21xx, 解得:x10.5, 又y=20x+1470,且 x 取整数,当 x=11 时,y 有最小值=1690,使费用最省的方案是购买 B 种树苗 10 棵,A 种树苗 11 棵,所需费用为 1690 元【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关 键描述语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系4.(2018 年湖南省娄底市)“绿水青山,就是金山银山”某旅游景区为了保护环境,需购买 A.B 两种型号的垃圾处理设备共 10 台已知每台 A 型设备日处理能力为 12 吨;每台 B 型设备日 处理能力为 15 吨;购回的设备日处理能力不低于 140 吨(1)请你为该景区设计购买 A.B 两种设备的方案;(2)已知每台 A 型设备价格为 3 万元,每台 B 型设备价格为 4.4 万元厂家为了促销产品,规 定货款不低于 40 万元时,则按 9 折优惠;问:采用(1)设计的哪种方案,使购买费用最少,为 什么?【分析】(1)设购买 A 种设备 x 台,则购买 B 种设备(10x)台,根据购回的设备日处理能力 不低于 140 吨列出不等式 12x+15(10x)140,求出解集,再根据 x 为正整数,得出 x=1,2,3进而求解即可;(2)分别求出各方案实际购买费用,比较即可求解【解答】解:(1)设购买 A 种设备 x 台,则购买 B 种设备(10x)台, 根据题意,得 12x+15(10x)140,解得 x3,x 为正整数,x=1,2,3该景区有三种设计方案:方案一:购买 A 种设备 1 台,B 种设备 9 台; 方案二:购买 A 种设备 2 台,B 种设备 8 台; 方案三:购买 A 种设备 3 台,B 种设备 7 台;(2)各方案购买费用分别为: 方案一:31+4.49=42.640,实际付款:42.60.9=38.34(万元); 方案二:32+4.48=41.240,实际付款:41.20.9=37.08(万元); 方案三:33+4.47=39.840,实际付款:39.8(万元);37.0838.0439.8,采用(1)设计的第二种方案,使购买费用最少【点评】本题考查了一次函数的应用,一元一次不等式的应用,分析题意,找到合适的不等关系 是解决问题的关键5.(2018 湖南湘西州 12.00 分)某商店销售 A 型和 B 型两种电脑,其中 A 型电脑每台的利润为400 元,B 型电脑每台的利润为 500 元该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共 100 台,其 中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍,设购进 A 型电脑 x 台,这 100 台电脑的销售总利润 为 y 元(1)求 y 关于 x 的函数关系式;(2)该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?(3)实际进货时,厂家对 A 型电脑出厂价下调 a(0a200)元,且限定商店最多购进 A 型电 脑 60 台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这 100 台电脑销售总 利润最大的进货方案【分析】(1)根据“总利润=A 型电脑每台利润A 电脑数量+B 型电脑每台利润B 电脑数量”可 得函数解析式;(2)根据“B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍且电脑数量为整数”求得 x 的范围,再结 合(1)所求函数解析式及一次函数的性质求解可得;(3)据题意得 y=(400+a)x+500(100x),即 y=(a100)x+50000,分三种情况讨论,当0a100 时,y 随 x 的增大而减小,a=100 时,y=50000,当 100m200 时,a1000,y 随 x 的增大而增大,分别进行求解【解答】解:(1)根据题意,y=400x+500(100x)=100x+50000;(2)100x2x,x,y=100x+50000 中 k=1000,y 随 x 的增大而减小,x 为正数,x=34 时,y 取得最大值,最大值为 46600,答:该商店购进 A 型 34 台、B 型电脑 66 台,才能使销售总利润最大,最大利润是 46600 元;(3)据题意得,y=(400+a)x+500(100x),即 y=(a100)x+50000,x60当 0a100 时,y 随 x 的增大而减小,当 x=34 时,y 取最大值,即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大a=100 时,a100=0,y=50000,即商店购进 A 型电脑数量满足 x60 的整数时,均获得最大利润;当 100a200 时,a1000,y 随 x 的增大而增大,当 x=60 时,y 取得最大值即商店购进 60 台 A 型电脑和 40 台 B 型电脑的销售利润最大【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用,解题的关键是根据一次函数 x值的增大而确定 y 值的增减情况6.(2018山东济宁市7 分)绿水青山就是金山银山”,为保护生态环境,A,B 两村准备各 自 清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:村庄清理养鱼网箱人清理捕鱼网箱人总支出/元A15957000B101668000(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元;(2)在人均支出费用不变的情况下,为节约开支,两村准备抽调 40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼
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