一、稳定失效实例压杆稳定失效二、平衡的稳定性非稳定的平衡稳定的平衡三、压杆的稳定性问题压杆平衡稳定。压杆平衡稳定。当压力小于某值，任意小的扰动下，压杆偏离直线平衡位置。当扰动除去后，压杆回到原来直线平衡位置。当压力小于某值，任意小的扰动下，压杆偏离直线平衡位置。当扰动除去后，压杆回到原来直线平衡位置。压力小于一定的数值时，压杆只有直线平衡方式。压力小于一定的数值时，压杆只有直线平衡方式。压杆平衡非稳定。压杆平衡非稳定。压力达到一定数值，压杆仍具有直线平衡方式；在外界扰动下，压杆偏离直线平衡位置，当扰动除去后，在某一弯曲状态下达到新的平衡。压力达到一定数值，压杆仍具有直线平衡方式；在外界扰动下，压杆偏离直线平衡位置，当扰动除去后，在某一弯曲状态下达到新的平衡。压力达到一定的数值时，压杆存在直线和弯曲两种平衡形式 。压力达到一定的数值时，压杆存在直线和弯曲两种平衡形式 。当压力超过某一数值，压杆直线平衡形式突然转变为弯曲形式，致使构件丧失正常功能。当压力超过某一数值，压杆直线平衡形式突然转变为弯曲形式，致使构件丧失正常功能。压杆失稳。压杆失稳。F FcrF Fcr=Fcr稳定平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状态的最低载荷，为压杆失稳的临界载荷。cr稳定平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状态的最低载荷，为压杆失稳的临界载荷。一、两端铰支细长压杆的临界载荷弯矩方程() ()M xFwx=压杆挠曲轴近似微分方程22d() ()dwx MxxEI=FxlFFxwMF细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态，其材料处于线弹性范围内。细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态，其材料处于线弹性范围内。线弹性稳定问题方程一般解() sin coswx A kx B kx=+边界条件0x =(0) 0 1 0wAB= +=xl=() sin cos 0wl A kl B kl= +=0B = sin 0kl =解得：A 、 B 不能同时等于 0 。、 不能同时等于 。2FkEI=222d()() 0dwxkwxx+ =() ()M xFwx= 22d() ()dwx MxxEI=FxlFmaxwFOsin 0kl =kl n=222( 1,2,.)nEIFnl=2cr2=EIFl两端铰支细长压杆欧拉临界载荷近似理论曲线精确理论曲线() sin 0= =wl A kl1w2w wklcrF二、两端非铰支细长压杆的临界载荷支承对压杆临界载荷的影响表现为确定常数所用边界条件不一样。支承对压杆临界载荷的影响表现为确定常数所用边界条件不一样。2cr2()=EIFl2cr2()=EIFl支承对压杆约束越强，长度系数越小，失稳临界载荷越大，压杆越难失稳。支承对压杆约束越强，长度系数越小，失稳临界载荷越大，压杆越难失稳。1.0 = 2.0 = 0.7 =0.5 =例：两端铰支压杆如图，杆的直径 d = 20mm ，长度 l = 800mm ，材料为 Q235钢， E =200GPa。求压杆的临界载荷。解：根据欧拉公式此时横截面上的正应力23 9412cr22200 10 20 1024.2kN( ) 64 (1 0.8)EIFl= =FA3crP264 24.2 1077MPa20 10 = =表明压杆处于弹性范围，所以用欧拉公式计算无误一、临界应力与柔度1.临界应力压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力。压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力。crcr =FA2.柔度 =li()=IiA截面对弯曲中性轴的惯性半径截面对弯曲中性轴的惯性半径二、三类不同压杆及其临界应力表达式1.大柔度杆（细长杆）弹性范围内失稳弹性范围内失稳2cr2E=2PE2cr2=E2PP=EPP=2cr2()=EIFlcrcr =FA2cr2()=EIlA/ =lliIA大柔度杆（细长杆）大柔度杆（细长杆）=2.中柔度杆（中长杆）弹塑性失稳弹塑性失稳cr = abcrab = sabs=sP =属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷22 9 3cr cr205 10 160 102600kN125 4EFA A = = =两端固支约束的压杆P318 18112.5160 10d = = .22 9 26cr cr205 10 160 103210kN112 5 4EFA A = = =属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷例： A3 钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图所示，其中 a 为正视图， b 为俯视图。在二处用螺栓夹紧。已知 l = 2.3m ， b = 40mm ， h = 60mm ，材料的弹性模量 E = 205GPa ，求此杆的临界载荷。解：在正视图平面（ xy平面）内失稳， A 、 B 处可自由转动，即两端为铰链约束1 =3/1223zzIbh hiAbh= =31 2.3 2 3132.860 10zzli = =在俯视图平面（ xz 平面）内失稳， A 、 B 处不可自由转动，即两端为固定约束0.5 =3/1223yyIhb biAbh= =30.5 2.3 2 399.640 10yyli = =z y 压杆在正视图平面内失稳定P132.8z = 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷22 96cr cr205 1040 60 10 275kN132.8zEFA bh= = = =一、压杆稳定条件crstst= FF Fncrstst = n二、安全因数法cr cr=FnFstnn工作安全因数压杆安全工作条件三、折减因数法 st =压杆安全工作条件例：由 A3 钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度算 s = 235MPa ，比例极限 P= 200MPa ，弹性模量 E=200GPa，杆长 l = 700mm ，截面直径 d = 45mm ，杆承受 Fmax= 100kN。稳定安全因数 nst= 2.5。试校核此杆的稳定性。解： 计算压杆柔度42/6411.25mm/4 4Id diAd= =两端为铰链约束1 =310.762.211.25 10li = =22 9P6P200 10100200 10E= =ss304 23561.61.12ab = =sP 所以压杆的稳定性是安全的例：钢柱长为 l = 7m ，两端固定，材料是 Q235钢，规定稳定安全因数 nst= 3 ，横截面由两个 10号槽钢组成。已知 E = 200GPa ，试求当两槽钢靠紧和离开时钢柱的许可载荷。解： 两槽钢靠紧查型钢表得22 12.74 25.48cmA = =24min2 (25.6 1.52 12.74) 109.8cmyII= + =min109.82.08cm25.48yyIiiA= = =两端固定0.5 =20.5 0.71682.08 10yli = =PP168 =钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷22 9 4cr cr200 10 25.48 10181.8kN168EFA A = = =钢柱的许可载荷cr1st181.860.6kN3FFn= = 两槽钢离开查型钢表22 12.74 25.48cmA = =42 198.3 396.6cmxI = =396.63.95cm25.48xxIiA= =242 (25.6 3.02 12.74) 285cmyI = + =min3.32cmyii= =2853.32cm25.48yyIiA= =4min285cmyII =两端固定0.5 =20.5 0.7105.53.32 10yli = =钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷22 9 4cr cr200 10 25.48 10473kN105.5EFA A = = =钢柱的许可载荷cr2st473157.7kN3FFn=P例：图所示结构中，梁 AB 为 No14 普通热轧工字钢，支承的直径 d = 20mm ，二者的材料均为 A3 钢。 A 、 C 、 D 三处均为球铰约束。已知 F = 25kN ， l1= 1.25m ， l2= 0.55m ， E = 206GPa 。规定稳定安全因数 nst= 2.0 ，梁的许用应力 = 170MPa 。试校核此结构是否安全。解： 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合）经过分析 AB 的危险截面为 C 截面oNcos 30 25 0.866 21.65kNFF=o1sin 30 25 0.5 1.25 15.63kN myMF l=查型钢表63102 10 myW=4221.510mA=33Nmax4621.65 10 15.63 10163MPa21.5 10 102 10yyMFAW =+ = + = 所以 AB 梁是安全的压杆 CD 的安全校核由平衡条件可求得压杆 CD 所受力oNCD2sin30 25kNFF=42/64 205mm/4 4 4yyIddiAd= =压杆 CD 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷22 926cr cr206 10 20 1052.8kN110 4EFA A = = =crstNCD52.82.1125FnnF =所以压杆 CD 是安全的P310.55110510yli = =例：图所示压杆，两端为球铰约束，杆长 l = 2.4m ，杆由两根12512512 的等边角钢铆接而成。铆钉孔直径为 23mm 。若压杆承受轴向压力 F = 750kN ，材料为 A3 钢， = 160MPa 。试校核此结构是否安全。解： 压杆稳定校核两根角钢铆接，失稳形成一整体挠曲，其横截面绕惯性矩最小的主轴 y 轴弯曲查型钢表38.3mmyi=2228.9 10 mmA=两根角钢铆接后222 57.8 10 mmAA=238.3mm2yyyyIIiiAA= =38.3mmyi =10.762.660.0383yli = =查表由直线内插法求得0.789 0.8420.842 (62.66 60) 0.82870 60=+ = st0.828 160 132MPa =326750 10130MPa57.8 10 10FA= =所以压杆稳定性是安全的st一、选择合理的截面形状压杆两端各方向挠曲平面内具有相同约束条件，截面的最大和最小惯性矩相近或相等。压杆两端各方向挠曲平面内具有相同约束条件，截面的最大和最小惯性矩相近或相等。2cr2EFlI=yzyz在面积一定时， I 是截面面积对于轴的分布关系在面积一定时， 是截面面积对于轴的分布关系面积分布相对于轴越远，截面对该轴的 I 越大面积分布相对于轴越远，截面对该轴的 I 越大提高截面惯性半径或惯性矩：在不增加截面面积的情况下，截面面积尽量离截面形心远处。提高截面惯性半径或惯性矩：在不增加截面面积的情况下，截面面积尽量离截面形心远处。2cr2()=ElIF压杆两端各方向挠曲平面