第四章 杆系结构单元杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类型有：梁、拱、框架、桁架等，如图（4-1）所示。 图（4-1） 梁拱框架 桁架 本章主要内容是：结构离散为单元的有关问题单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度矩阵、等价节点力矩阵等。坐标变换矩阵及结构坐标系中的单元特性。 2、编号（1）节点编号节点编号应按正整数不间断逐点编号。编号时力求单元两端点号差最小，以便使结构刚度矩阵元素集中在主对角线附近，后面结构刚度矩阵组集中有详细说明。4.1 结构离散1、离散方法取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。杆件结构的单元一般只有2个节点。 （2）单元编号单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况 。3、 本 应 一个数 件（DATA.*） 本 ，以便 时 用。 本 ：（1）单元 数（NE）、节点 数（NJ）、节点 由度数（NDF）。（2） 性 （E）、 系数（AMU）。 （3）单元I端节点号IO（NE）、 J端节点号JO（NE） （4）有 的节点数（ NRJ ）、有 的节点号（KRJ(NRJ)）、 的 由度（KRL(NDF, NRJ)）。 （5）单元 面面 （A）、 面 性矩（ZI）（6）节点坐标：X(NJ)、Y(NJ)（7） 力 集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)（8） 集中力作用的节点数（MJL）、 集中力作用的节点号（NJL（MJL）、集中力数（VJL（NDF，MJL）。 DATA.FRA(1) NE、NJ、NDF25, 18, 3(2）E、AMU3.25e7, 0.15 (3）IO（NE）、JO（NE）1, 4, 4, 7, 7, 10, 10,13, 13,16, 2, 5, 5, 8, 8, 11, 11,14, 14,17,3, 6, 6, 9, 9, 12, 12,15, 15,18,4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10,11,11, 12, 13,14, 14,15, 16,17, 17,18(4）NRJ 、KRJ(NRJ)、（KRL(NDF,NRJ)）3，1,2,3,9*1(5) A(NE)、ZI(NE)(6) X(NJ)、Y(NJ)(7) qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)(8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL)数 应和对应。q=10kN/m4、示currency16.0m 5.0m3.0m3.0m3.0m3.0m4.0m1 234 5 67 8 910 11 1213 14 1516 17 18(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16) (17)(18) (19)(20) (21)(22) (23)(24) (25)XY “ 对面桁架fifl结构离散， 作数件。 44m3mP1 P2 P3：E=2.1109kN/m2P1=P3=10kN, P2=50kN,15cm2 (杆） A = 65cm2 ( 杆） 40cm2 (杆） 4.2 单元（局部）坐标系杆系结构单元在结构中的”是的。如图（4-1）桁架所示。 XYP 图（4-1）如 一个单元在 一的整体坐标系XY中单元刚度矩阵。结构中不”的一类型单元，单元刚度矩阵不相。 不 编 。 杆系结构单元主要有杆单元和梁单元两类型。只有2个节点i、j。：单元坐标系的点”节点i 节点i j的杆 （ ）方 为单元坐标系中x 的正。 y 、z 与x ， 法 （图4-2） xyz （图4-2）ij容 ，用 单元 体方的坐标系 况， 的结。 个单元的坐标系为单元坐标系，也局部坐标系。 yz为 便对单元坐标系中的单元特性fifl， 以 号：e单元坐标单元 Fe单元坐标单元力ke单元坐标单元刚度矩阵单元的2个节点中取一个作为i，只要 i节点和j节点，x 的正 。对梁单元， y 和z 为 面 的两个 性主 。面，开始讨论几杆系结构单元在单元坐标中的一些特性。ijx i j xl图4-34.3 杆单元 图4-3示 一维杆单元， 面 为A，长度为l， 性 为E， 为qx。单元有2个结点i，j，单元坐标为一维坐标 x。 qxujui1、一维杆单元 单元力 为：jieFFF （4-2）（1） 式和 函数 式单元结点 为：（4-1） jieuu 因为只有2个结点， 个结点 只有1个由度，因此单元的 式设为：xaau 21 （4-3）式中a1、a2为待 常数，由结点 条件x=xi 时， u=uix=xj 时， u=uj。由此 a1、a2 。再 代 式（4-3）， xl uuxl uuuu ijiiji )( （4-4）a1 a2 函数式（4-4）为列 式 eNu （4-5）式中 e由式（4-1） ， 函数N为 )()(1 xxxxlNNN ijji （4-6）（2）应变矩阵一维杆单元仅有 应变 dxdu式（4-5）、（4-6）代 式， el 111 式也为 eB （4-7）式中B为应变矩阵 111 lBBB ji （4-8）由应力应变关系 （3）应力矩阵 E式（4-7）代 式， ee SBE （4-9）式中S为应力矩阵 11 lES （4-10）(4) 等价节点力 单元 作用 力qx， 等价节点力 公式仍为以 式 dxqNF xTe 当 力集度qx为常数时，有 112)()(1 lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix（4-11）)()(1 xxxxlNNN ijji 式（4-11）概念是 力起的 力按静力等效配 单元节点 。由 式是线性函数，因此按公式（4-11） 结与静力等效 配是一的。(5) 单元坐标单元刚度矩阵 单元坐标单元刚度矩阵仍式（2-33）推 dvBDBkvTe （2-33）对等 面杆单元，dv=AdxA 单元 面面 。有 dxBDBAkvTe 式（4-8）代 式， 1111lAEk e （4-12）2、面杆单元1234i j xy图4-4l（1）单元坐标单元 4321 e（2） 式和 函数由面杆单元只有 力。 式式（4-3）、（4-4）。（y方 不起单元力） 函数0)(0)(1 xxxxlNNN ijji （4-13）（3）应变矩阵 式1234i j xy)()(1 xxxxlNNN ijji eB （4-7）应变矩阵 B为01011 lBBB ji （4-14）（4）应力矩阵ee SBE （4-9）应力矩阵 S为0101 lES （4-15）(5) 等价节点力 010120)(0)(1 qlqdxxxxxlF ijxxeqji（4-16）(6) 单元坐标单元刚度矩阵 对等 面杆单元，0000010100000101 lAEk e （4-17）1111lAEk e i j xylz3、空间杆单元（1）单元坐标单元 图4-5124536 Te 654321 （4-18） （2） 函数00)(00)(1 xxxxlN ij （4-19）（3）应变矩阵（4-20）0010011 lB（4）应力矩阵001001 lES （4-21）(5) 等价节点力 Te qlF 0010012 （4-22） (6) 单元坐标单元刚度矩阵 对等 面杆单元，（4-23）000000000000001001000000000000001001 lAEk e1111lAEk e 4.4 梁单元 1、两端承 剪力、弯矩的面梁单元图4-5i j xyi j xy1234lF1F2F3F4l（1）单元坐标单元 和单元力 单元 TjjiiTe vv 4321 （4-24） 中，vy方 ，即挠度。角 。 单元力 TjjiiTe MQMQFFFFF 4321 （4-26）中， Q剪力M弯矩 3322dxvdEIQdxvdEIM（4-27） （2） 函数和 函数设单元坐标 式为342321)( xaxaxaaxv （4-28） 式 函数由单元两端点的节点 条件， 式（4-28）中的a1、a2、a3、a4。再代 该式， 式为以 式： i j xy1234l梁单元内一点有2个 ： v、因为，=dv/dx （4-25）仅一个 是独 的，取 v 。 eNxv )( （4-29）式中 4321 NNNNN （4-30）232433232322233231/)(/)23(/)2(/)23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（4-31）（3）应变矩阵 单元弯曲应变 b与节点 e的关系。由材料力学，梁单元 一点的应变和该点挠度之间关系为： 1xy22dxvdyb （4-32）1y22tan dxvdyyyb 式（4-29）代 （4-32）， 单元弯曲应变和单元 之间关系（4-34） )26()612()46()612(3 lxllxxllxlyB 4321 BBBBB eb B （4-33）（4）应力矩阵 eebb SBEE （4-35） (5) 等价节点力 对梁 作