双曲线的标准方程与几何性质题 2.3.1双曲线的标准方程1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的_等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做_，_叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1_，F2_焦距|F1F2|2c，c2_探究点一双曲线的定义问题1取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？结论：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距问题2双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a|F1F2|?问题4已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|6；(2)6.探究点二双曲线的标准方程问题1类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使|OB|b吗？例1(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和， 求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程小结(1)双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”先看焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程(2)在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2By21 (AB0)(3)与双曲线1共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2a2)跟踪训练1(1)过点(1,1)且的双曲线的标准方程是()A.y21 B.x21Cx21 D.y21或x21(2)若双曲线以椭圆1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_探究点三双曲线定义及标准方程的应用例2已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)小结双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据在应用时，一是注意条件|PF1|PF2|2a (02a1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线3双曲线1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到(5,0)的距离为 A7 B23 C5或25 D7或234已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心的轨迹方程1双曲线定义中|PF1|PF2|2a (2ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21 (mn0，b0)1(a0，b0)图形性质范围对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_顶点坐标渐近线离心率e，e(1，)2. 等轴双曲线实轴和虚轴_的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是_.探究点一双曲线的几何性质问题1类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1 (a0，b0)的 哪些几何性质？例1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程小结讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质跟踪训练1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程探究点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,9)，离心率e；(2)过点P(2，1)，渐近线方程是y3x.小结由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21 (mn0)，从而直接求得若已知双曲线的渐近线方程为yx，还可以将方程设为 (0)，避免讨论焦点的位置跟踪训练2求满足下列条件的双曲线方程：(1)以2x3y0为渐近线，且经过点(1,2)；(2)离心率为，虚半轴长为2；(3)与椭圆x25y25共焦点且一条渐近线方程为yx0.探究点三双曲线的离心率例3设双曲线1 (0a0，b0)的两个焦点，A、B是以O为圆心、以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，双曲线的离心率e_.(2)设点P在双曲线1 (a0，b0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为_1已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为A.1 B.1 C.1 D.12双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率是()A B2 C或 D或3若在双曲线1 (a0，b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是Ae B1e2 D1e0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_1渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程1 (a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形. 第 15 页 共 15 页