微分方程,第十二章, 积分问题, 微分方程问题,推广,第一节 微分方程的基本概念,求所满足的微分方程 .,例4. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,第二节 可分离变量的微分方程,例3. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( c为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),初值问题,第三节 齐次方程,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 c = 0 时, y = 0 也是方程的解),( c 为任意常数 ),例2. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(c 为任意常数),求解过程中丢失了.,内容小结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = c,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程,2) 根据物理规律列方程,3) 根据微量分析平衡关系列方程,(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.,3. 解微分方程应用题的方法和步骤,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,