5.3 平面向量的数量积 与平面向量的应用,-2-,-3-,知识梳理,考点自测,1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0. (2)几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,|a|b|cos ,-4-,知识梳理,考点自测,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,-5-,知识梳理,考点自测,3.平面向量数量积的运算律 (1)ab=ba(交换律). (2)ab=(ab)=a(b)(结合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,-6-,知识梳理,考点自测,1.平面向量数量积运算的常用公式: (1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(ab)2=a22ab+b2. 2.当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|. 3.ab|a|b|.,-7-,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量,且有正有负. ( ) (2)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角. ( ) (3)若ab=0,则必有ab. ( ) (4)(ab)c=a(bc). ( ) (5)若ab=ac(a0),则b=c. ( ),-8-,知识梳理,考点自测,2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8,D,解析:由题意可知,a+b=(4,m-2). 由(a+b)b,得43+(m-2)(-2)=0,解得m=8,故选D.,A,-9-,知识梳理,考点自测,4.(2017全国,文13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m= .,5.(2017全国,文13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .,7,解析:因为a=(-1,2),b=(m,1), 所以a+b=(m-1,3). 因为a+b与a垂直,所以(a+b)a=0,即-(m-1)+23=0,解得m=7.,2,解析:ab,ab=(-2,3)(3,m)=-23+3m=0,解得m=2.,-10-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,平面向量数量积的运算,A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I3,C,6,-11-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-12-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考求向量数量积的运算有几种形式? 解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a与b的夹角). (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.,-13-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,B,-14-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-15-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-16-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-17-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,平面向量的模及应用,B,4,-18-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-19-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-20-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法? 解题心得1.求向量的模的方法: (1)公式法,利用 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算; (2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范围)的方法: (1)求函数最值法,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求最值(或范围); (2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.,-21-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-22-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,平面向量数量积的应用(多考向) 考向1 求平面向量的夹角,D,B,-23-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考两个向量数量积的正负与两个向量的夹角有怎样的关系?,-24-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向2 平面向量a在b上的投影 例4已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9. (1)求向量a与b的夹角; (2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.,-25-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向3 求参数的值或范围,思考两向量的垂直与其数量积有何关系?,-26-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向4 在三角函数中的应用 例6(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3, ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,-27-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?,-28-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向5 在解析几何中的应用,5,思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?,-29-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角. 2.若a,b为非零向量, (夹角公式),则abab=0. 3.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题. 4.向量在解析几何中的作用 (1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.,-30-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-31-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-32-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-33-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-34-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a与b的夹角.,-35-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.,-36-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-37-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-38-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思想方法函数思想与数形结合思想在数量积中的应用,答案:2,-39-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解析:因为b0,所以b=xe1+ye2,x0或y0.,-40-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,-41-,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,反思提升求向量的夹角与模的范围问题经常应用函数思想与数形结合思想.模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数,利用求函数值域的方法确定最值,体现了函数思想的运用,又多与二次函数、基本不等式相联系;求向量夹角的范围问题,根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合确定夹角的范围.,