第十六届第十六届“中环杯中环杯”五年级五年级(初赛初赛)解析解析 1、 计算：计算： 1717 20.1522015_ 3203 . 【分析】原式 371777317 =20+2015=20+2015=49+2015=2064 20320332020 2、 要使得算式要使得算式 111 (1451)47 234 成立，方框内应填的数是成立，方框内应填的数是_. 【分析】原式变为： 11 144414 34 11 (144)10 34 1 14430 4 6 3、 把把 61 本书分给某个班级的学生，如果其中至少有本书分给某个班级的学生，如果其中至少有 1 人能分到至少 人能分到至少 3 本书，你们这个班本书，你们这个班 最多有最多有_人人. 【分析】抽屉原理.（60-1） 2=30（人） 4、 有一个数，除以有一个数，除以 3 余数是余数是 1，除以，除以 5 余数是 余数是 2，那么这个数除以，那么这个数除以 15 的余数是的余数是_. 【分析】设这个数为 3k+1， （3k+1）除以 5 余 2 则 k 最小为 2，所以这个数最小为 7 5、 如图，一个三角形的三个内角分别为如图，一个三角形的三个内角分别为(5 3 )xy、 、(3 20)x 和 和(10 30)y ，其中 ，其中 x、y 都都 是正整数，则是正整数，则 x+y=_. 【分析】根据内角和 180 度得： 533201030180 813130 8 10 13 xyxy xy yx 由于都是正整数所以 x=13，y=2，和为 15 （5x+3y） （10y+30） （3x+20） 6、 三个数两两之间的最大公约数分别是三个数两两之间的最大公约数分别是 3、4、5，那么 ，那么这这三个数的和最小是三个数的和最小是_. 【分析】ABC设这三个数为 、 、 不妨设： AB =A=12a AC =B=15b abc =1 BC =C=20c 12 15 2047 （ ， ）3 （ ， ）4， ， （ ， ）5 所以这三个数最小为：、 ，和为 7、 对字母对字母 az 进行编码（进行编码（a=1，b=2.， ，z=26） ，这样每个英文单词（所有单词的字母都） ，这样每个英文单词（所有单词的字母都 认为是小写字母）都可以算出其所有字母编码的乘积认为是小写字母）都可以算出其所有字母编码的乘积 p.比如单词比如单词 good，其对应的，其对应的 p 值值 为为 7 15 15 4=6300（因为（因为 g=7,0=15，d=4）.如果某个合数无法表示成任何单词（无论如果某个合数无法表示成任何单词（无论 这个单词是不是有意义）的这个单词是不是有意义）的 p 值，这样的合数就称为值，这样的合数就称为“中环数中环数”.最小的三位数最小的三位数“中环数中环数” 为为_. 【分析】(方法一)要为“中环数”，则分解出的质因子至少有大于 26 的质因子：大于 26 的 质数为 29,31,37,294=116，肯定是中环数，所以只要再验算小于 107 是否还有中环数， 这时会发现 106 是最小的一个； (方法二)绝大多数小朋友的方法，直接从最小的三位合数开始试. 100，102，104，105，106，然后发现 106 是第一个满足的，1062 53.所以答案是 106. 8、 甲、乙两人同时骑自行车从甲、乙两人同时骑自行车从 A 地 地到到 C 地，路上会经过地，路上会经过 B 地地.骑了一会，甲问乙：骑了一会，甲问乙：“我们我们 骑了多少公里了？骑了多少公里了？”乙回答：乙回答：“我们骑的路程相当于这里到我们骑的路程相当于这里到 B 地距离的地距离的 1 3 .”又骑了又骑了 10 公公 里后，甲又问：里后，甲又问：“我们还要骑多少公里才能到达我们还要骑多少公里才能到达 C 地？地？”乙回答：乙回答：“我们还要骑的路程相我们还要骑的路程相 当于这里到当于这里到 B 地距离的地距离的 1 3 .”A、C 两地相距两地相距_公里（答案公里（答案写为写为分数形式）分数形式） 【分析】 第一次对话点在 D，第二次对话点在 E.不妨设 AD 为 x，则 BD 为 3x；设 EC 为 y，则 BE 为 3y.根据题意有， 0 3x3y1 ，则 AC 的长为： 4440 443310 333 xy=xy =. 9、 如果一个数不是如果一个数不是 11 的倍数，但是移除一个任意位上的数码后，它就变成了的倍数，但是移除一个任意位上的数码后，它就变成了 11 的倍数了 的倍数了 （比如（比如 111 就是这样的数，无论移除其个位、十位或百位数码，都变成了就是这样的数，无论移除其个位、十位或百位数码，都变成了 11 的倍数） ，的倍数） ， 这样的数定义为这样的数定义为“中环数中环数”.四位四位“中环数中环数”有有_个（如果不存在，就写个（如果不存在，就写 0）. 【分析】设这样的四位数为abcd，则根据题意： 11 a|b+d-c b|a+d-c c|a+d-b da c b 移 ，有11 移 ，有11 移 ，有 移 ，有11| + - ，由于 a 和 b 都是 一位数，只能是b=c.那么11 ,11| |da，则0,0ad .所以不存在这样的四位数. y 3y 3xx EDACB 10、 有一天，小明带了有一天，小明带了 100 元元去去购物，在第一家店购物，在第一家店买了 买了若干件若干件 A 商品，在第二家店买了若商品，在第二家店买了若 干件干件 B 商品，在第三家店买了若干件商品，在第三家店买了若干件 C 商品，在第四家店买了若干件商品，在第四家店买了若干件 D 商品，在第五商品，在第五 家店买了若干件家店买了若干件 E 商品，在第六家店买了若干件商品，在第六家店买了若干件 F 商品商品.六种商品的价格各不相同且都六种商品的价格各不相同且都 是整数元，小明在六家店里花的钱相同是整数元，小明在六家店里花的钱相同.则小明还剩则小明还剩_元元. 【分析】设在每家店都花了 x 元，根据题意 x 最少含有 6 个因数. 因为 6512111 ，所以 x 最小为 2 2312 ， 而其他的情况花的钱都会超出 100 这个范围， 所以不用考虑， 所以剩下10012628（元） . 11、 将将长为长为 31 厘米的一条绳子分成三段，每段的长度都是整数，任取其中的两段作为一个厘米的一条绳子分成三段，每段的长度都是整数，任取其中的两段作为一个 长方形的长长方形的长与与宽，可以构成三个长方形宽，可以构成三个长方形.这三个长方形面积之和的最大值为这三个长方形面积之和的最大值为_平平 方厘米方厘米. 【 分 析 】 设 将 绳 子 分 成 长 为 a 、 b 、 c 的 三 段 ， 则 这 三 个 长 方 形 的 面 积 之 和 2222 2()()()() 6 abcabacbc abacbc ，而31abc，当 a、b、c 的 差最小时面积和最大， 即 a、 b、 c 取 10、 10、 11， 面积和为10 1010 11 10 11320（平 方厘米）. 12、 如图如图 12-1 所示， 小明从所示， 小明从 A-B， 毎次都是往一个方向走三， 毎次都是往一个方向走三格 格， 然后转， 然后转 90 度后再走一格，度后再走一格， 例如图例如图 12-2 中，从点中，从点 C 出发可以走到八个位置出发可以走到八个位置.那么小明至少走那么小明至少走_次才能从点次才能从点 A 到达点到达点 B. 12-2 第 12 题 【分析】答案如图，最少 5 次. F E D C B A A B 13、 如图，一个大正方形被分割成六个小正方形，如果两个小正方形之间有多于一个的公如图，一个大正方形被分割成六个小正方形，如果两个小正方形之间有多于一个的公 共点，那么称它们为相邻的共点，那么称它们为相邻的.将将 1、2、3、4、5、6 填人右图填人右图，每个小正方形内填一个数，每个小正方形内填一个数 字，使得相邻的小正方形内数之差永远不是字，使得相邻的小正方形内数之差永远不是 3.不同的填法有不同的填法有_种种. 【分析】先从相邻最多的 F 填起，发现 1 至 6 都可以填，有 6 种，不妨假设填了 1，此时发 现 ABDE 都不能与 1 的差等于 3，所以只能 ABDE 为 2、3、5、6 中的一个；此时发现 C 确 定为 4，一种填法，A 可以有 4 种（2、3、5、6 随便一个） ，不妨设 A 填 2，B 有 2 种填法， D，E 有 2 种填法：6422=96（种）. 14、 如图，在梯形如图，在梯形 ABCD 中，中，CD=2AB，点，点 E,F 分别为 分别为 AD,AB 的中点的中点.若三角形若三角形 CDG 的的 面积减去四边形面积减去四边形 AEGF 的面积等于的面积等于 24 k 平方厘米（其中平方厘米（其中 k 为正整教） ，为了使得梯形为正整教） ，为了使得梯形 ABCD 的面积为一个正整数，则的面积为一个正整数，则 k 的最小值为的最小值为_. 【分析】22bh.ABaCD设，高为 min S =h224h23 k 24 k 24 k 24 111k 4hh= 22224 1k h= 224 k h= 12 kk =33() 124 k4 CDGAEGF CDGDEGAEGFDEG CDE aaah SS SSSS SS aa a a Sah 梯 ADF 梯 （AB+CD）（） （+）（）= 为整数 A B C F D E 15、 一间房间里住着一间房间里住着 3 个人（小王、小张、小李）和个人（小王、小张、小李）和 1 只狗 只狗.毎天早上，毎天早上，3 人起床后都会去人起床后都会去 做一些曲奇饼干，这样他们饿的话可以随时吃这些饼干做一些曲奇饼干，这样他们饿的话可以随时吃这些饼干.一天早上，小王第一天早上，小王第个出门去个出门去 上班，出门前他将上班，出门前他将 1 块曲奇饼干丢给了狗，然后带走并吃掉了剩下的块曲奇饼干丢给了狗，然后带走并吃掉了剩下的 1/3；小张第二个；小张第二个 出门去上班，出门前他将出门去上班，出门前他将 1 块曲奇饼干丢给了狗，然后带走并吃掉了剩下的块曲奇饼干丢给了狗，然后带走并吃掉了剩下的 1/3；小李；小李 第三个出门去上班， 出门前他将第三个出门去上班， 出门前他将 1 块曲奇饼干丢给了狗， 然后带走并吃掉了剩下的块曲奇饼干丢给了狗， 然后带走并吃掉了剩下的 1/3； 晚上，晚上，3 个人都回到家以后，他们将个人都回到家以后，他们将 1 块曲奇饼干丟给了狗，然后平分并吃掉了剩下的块曲奇饼干丟给了狗，然后平分并吃掉了剩下的 饼干饼干.在整在整个过程中，所有的曲奇饼干都不需要被掰碎个过程中，所有的曲奇饼干都不需要被掰碎.那么，小王吃掉的饼干数那么，小王吃掉的饼干数最少为最少为 _块块. 【分析】 设晚上每人分得 n 块， 则总数为 2228165 (31)111 3338 n n 是整数， n 至少为 7，总数为 79，所以吃掉的饼干数最少为 791 733 3 （块）. 16、 两辆车在高速公路上行驶，相距两辆车在高速公路上行驶，